Em matemática, uma superfície algébrica é uma variedade algébrica de dimensão dois. Assim, uma superfície algébrica é uma solução de um conjunto de equações polinomiais, na qual existem duas direções independentes em cada ponto. Um exemplo de uma superfície algébrica é a esfera, que é determinada pela única equação polinomial . Estudar a geometria intrínseca das superfícies algébricas é um tópico central na geometria algébrica. A teoria é muito mais complicada do que para as curvas algébricas (casos unidimensionais), e foi desenvolvida substancialmente pela escola italiana de geometria algébrica no final do século XIX e início do século XX. O tópico continua a ser um campo de pesquisa ativo.

Nos casos mais simples, as superfícies algébricas são estudadas como variedades algébricas sobre os números complexos. Por exemplo, a esfera familiar (para reais) torna-se uma superfície quádrica complexa (afim), que simultaneamente incorpora a esfera e os hiperboloides de uma e duas folhas, e isso permite que algumas complicações (como a topologia: se a superfície é um espaço conexo ou simplesmente conexo) sejam um tanto adiadas. Superfícies de grau superior incluem, por exemplo, a superfície de Kummer. A classificação de superfícies algébricas é muito mais intrincada do que a classificação de curvas algébricas, que têm dimensão um, e já é bastante complicada.

Superfícies algébricas, assim como curvas algébricas, podem possuir singularidades, que são pontos onde não há plano tangente. Uma singularidade pode ser um ponto de auto-interseção ou um ponto onde o número de dimensões "livres" pode cair, como em uma cúspide. A teoria das catástrofes está fortemente relacionada com a classificação de singularidades de superfícies. Da mesma forma, superfícies algébricas podem ser definidas sobre outros corpos além dos números complexos. Este artigo foca primariamente no caso complexo.

Classificação pela dimensão de Kodaira

No caso da dimensão um, as variedades são classificadas apenas pelo gênero topológico, mas, na dimensão dois, é necessário distinguir o gênero aritmético e o gênero geométrico porque não se pode distinguir birracionalmente apenas o gênero topológico. Então, a irregularidade é introduzida para a classificação das variedades. Um resumo dos resultados (em detalhes, para cada tipo de superfície refere-se a cada redirecionamento), segue abaixo:

Exemplos de superfícies algébricas incluem (onde é a dimensão de Kodaira):

: o plano projetivo, quádricas em P3, superfícies cúbicas, superfície de Veronese, superfícies de del Pezzo, superfícies regradas : superfícies K3, superfícies abelianas, superfícies de Enriques, superfícies hiperelípticas : superfícies elípticas : superfícies de tipo geral.

Para mais exemplos, veja a lista de superfícies algébricas.

Os primeiros cinco exemplos são, de fato, birracionalmente equivalentes. Ou seja, por exemplo, uma superfície cúbica possui um corpo de funções isomorfo ao do plano projetivo, sendo as funções racionais em duas indeterminadas. O produto cartesiano de duas curvas também fornece exemplos.

Geometria birracional de superfícies A geometria birracional de superfícies algébricas é rica devido ao blowup (também conhecido como transformação monoidal), sob a qual um ponto é substituído pela curva de todas as direções tangentes limite que entram nele (uma reta projetiva). Certas curvas também podem ser contraídas (blown down), mas há uma restrição (o número de auto-interseção deve ser -1).

Teorema de Castelnuovo Um dos teoremas fundamentais para a geometria birracional de superfícies é o teorema de contração de Castelnuovo. Este afirma que qualquer mapa birracional entre superfícies algébricas é dado por uma sequência finita de blowups e contrações (blowdowns).

Propriedades

O critério de Nakai afirma que: Um Divisor D em uma superfície S é amplo se e somente se e para toda curva irredutível C em S, .

Divisores amplos têm uma propriedade interessante, como ser o pullback de algum fibrado de hiperplanos do espaço projetivo, cujas propriedades são muito bem conhecidas. Seja o grupo abeliano consistindo de todos os divisores em S. Então, devido ao teorema de interseção, a aplicação

é vista como uma forma quadrática. Seja

então torna-se um grupo de classes de equivalência numérica de S e

também se torna uma forma quadrática em , onde é a imagem de um divisor D em S. (No que se segue, a imagem é abreviada por D.)

Para um fibrado de linhas amplo H em S, a definição

é usada na versão para superfícies do teorema do índice de Hodge: para com , tem-se , ou seja, a restrição da forma de interseção a é uma forma quadrática definida negativa. Este teorema é provado usando o critério de Nakai e o teorema de Riemann-Roch para superfícies. O teorema do índice de Hodge é usado na prova de Deligne da conjectura de Weil.

Resultados básicos sobre superfícies algébricas incluem o teorema do índice de Hodge e a divisão em cinco grupos de classes de equivalência birracional chamada de classificação de superfícies algébricas. A classe de tipo geral, de dimensão de Kodaira 2, é muito grande (grau 5 ou maior para uma superfície não singular em P3 reside nela, por exemplo).

Existem três invariantes essenciais do número de Hodge de uma superfície. Destes, era classicamente chamado de irregularidade e denotado por q; e era chamado de gênero geométrico . O terceiro, , não é um invariante birracional, porque o blowup pode adicionar curvas inteiras, com classes em . Sabe-se que os ciclos de Hodge são algébricos e que a equivalência algébrica coincide com a equivalência homológica, de modo que é um limite superior para , o posto do grupo de Néron-Severi. O gênero aritmético é a diferença:

gênero geométrico − irregularidade.

Isso explica por que a irregularidade recebeu esse nome, como uma espécie de 'termo de erro'.

Teorema de Riemann-Roch para superfícies

O teorema de Riemann-Roch para superfícies foi formulado pela primeira vez por Max Noether. As famílias de curvas em superfícies podem ser classificadas, em certo sentido, e dão origem a grande parte de sua geometria interessante.

Ver também Programa do modelo mínimo

Referências

Ligações externas Programa gratuito SURFER para visualizar superfícies algébricas em tempo real, incluindo uma galeria de usuários. SingSurf um visualizador 3D interativo para superfícies algébricas. Página sobre Superfícies Algébricas iniciada em 2008 Visão geral e pensamentos sobre o design de superfícies algébricas