thumb|right|200px|Uma cúspide em (0, 1/2) Na matemática, uma cúspide (por vezes chamada de espinódio em textos antigos) é um ponto de uma curva onde um ponto em movimento nela precisa de reverter a sua direção. Um exemplo típico é dado na figura. Uma cúspide é assim um tipo de ponto singular de uma curva.

Para uma curva plana definida por uma equação paramétrica analítica,

uma cúspide é um ponto onde ambas as derivadas de e são zero, e a derivada direcional, na direção da tangente, muda de sinal (a direção da tangente é a direção do declive ). As cúspides são singularidades locais no sentido de que envolvem apenas um valor do parâmetro , em contraste com os pontos de autointerseção, que envolvem mais do que um valor. Nalguns contextos, a condição da derivada direcional pode ser omitida, embora, nesse caso, a singularidade possa parecer um ponto regular.

Para uma curva definida por uma equação implícita

que seja uma função suave, as cúspides são pontos onde os termos de menor grau da expansão de Taylor de são uma potência de um polinómio linear; no entanto, nem todos os pontos singulares que têm esta propriedade são cúspides. A teoria das séries de Puiseux implica que, se for uma função analítica (por exemplo, um polinómio), uma mudança linear de coordenadas permite que a curva seja parametrizada, numa vizinhança da cúspide, como

onde é um número real, é um inteiro par positivo e é uma série de potências de ordem (grau do termo não nulo de menor grau) maior que . O número é por vezes chamado de ordem ou multiplicidade da cúspide, e é igual ao grau da parte não nula de menor grau de . Nalguns contextos, a definição de cúspide é restrita ao caso de cúspides de ordem dois — isto é, o caso em que .

As definições para curvas planas e curvas definidas implicitamente foram generalizadas por René Thom e Vladimir Arnold para curvas definidas por funções diferenciáveis: uma curva tem uma cúspide num ponto se existir um difeomorfismo de uma vizinhança do ponto no espaço ambiente, que mapeia a curva sobre uma das cúspides definidas acima.

Classificação em geometria diferencial

Considere uma função de valor real suave de duas variáveis, digamos , em que e são números reais. Então é uma função do plano para a reta. O espaço de todas essas funções suaves sofre a ação do grupo de difeomorfismos do plano e dos difeomorfismos da reta, ou seja, de mudanças difeomórficas de coordenadas tanto na fonte como no alvo. Esta ação divide todo o espaço de funções em classes de equivalência, ou seja, órbitas da ação de grupo.

Uma de tais famílias de classes de equivalência é denotada por , onde é um número inteiro não negativo. Diz-se que uma função é do tipo se se encontrar na órbita de , isto é, se existir uma mudança difeomórfica de coordenada na fonte e no destino que leve a uma destas formas. Diz-se que estas formas simples dão as formas normais para as singularidades do tipo . Note que as são as mesmas que as , uma vez que a mudança difeomórfica de coordenada na fonte leva para . Logo, podemos retirar o ± da notação .

As cúspides são então dadas pelos conjuntos de nível zero dos representantes das classes de equivalência , onde é um número inteiro.

Exemplos thumb|right|200px|Uma cúspide na parábola semicúbica Uma cúspide ordinária é dada por , isto é, o conjunto de nível zero de uma singularidade do tipo . Seja uma função suave de e e assuma, por simplicidade, que . Então, uma singularidade do tipo de em pode ser caracterizada por: Ter uma parte quadrática degenerada, isto é, os termos quadráticos na série de Taylor de formam um quadrado perfeito, digamos , onde é linear em e , e não divide os termos cúbicos na série de Taylor de . Uma cúspide ranfóide denotava originalmente uma cúspide tal que ambos os ramos se encontravam no mesmo lado da tangente, tal como na curva de equação . Como tal singularidade se encontra na mesma classe diferencial que a cúspide de equação , que é uma singularidade do tipo , o termo foi estendido a todas as singularidades desse tipo. Estas cúspides são não-genéricas como cáusticas e frentes de onda. A cúspide ranfóide e a cúspide ordinária são não-difeomórficas. Uma forma paramétrica é .

Para uma singularidade do tipo , precisamos que tenha uma parte quadrática degenerada (isto dá o tipo ), que divida os termos cúbicos (isto dá o tipo ), de outra condição de divisibilidade (dando o tipo ) e, finalmente, de uma condição de não-divisibilidade (dando o tipo exatamente ).

Para ver de onde vêm estas condições de divisibilidade extra, assuma que tem uma parte quadrática degenerada e que divide os termos cúbicos. Segue-se que a série de Taylor de terceira ordem de é dada por , onde é quadrático em e . Podemos completar o quadrado para mostrar que . Podemos agora fazer uma mudança difeomórfica de variável (neste caso, simplesmente substituímos polinómios por partes lineares linearmente independentes) para que , onde é quártica (ordem quatro) em e . A condição de divisibilidade para o tipo é que divida . Se não dividir , então temos o tipo exato (o conjunto de nível zero aqui é um ponto de osculação). Se dividir , completamos o quadrado em e mudamos as coordenadas para que tenhamos , em que é quíntica (ordem cinco) em e . Se não dividir , então temos exatamente o tipo , isto é, o conjunto de nível zero será uma cúspide ranfóide.

Aplicações thumb|right|200px|Uma cúspide ordinária ocorrendo como a cáustica dos raios de luz no fundo de uma chávena de chá. As cúspides aparecem naturalmente ao projetar num plano uma curva suave no espaço euclidiano tridimensional. Em geral, tal projeção é uma curva cujas singularidades são pontos de autointerseção e cúspides ordinárias. Os pontos de autointerseção surgem quando dois pontos diferentes da curva têm a mesma projeção. As cúspides ordinárias aparecem quando a tangente à curva é paralela à direção da projeção (ou seja, quando a tangente se projeta num único ponto). Ocorrem singularidades mais complicadas quando vários fenómenos ocorrem em simultâneo. Por exemplo, as cúspides ranfóides ocorrem para pontos de inflexão (e para pontos de ondulação) para os quais a tangente é paralela à direção de projeção.

Em muitos casos, e tipicamente em visão computacional e computação gráfica, a curva que é projetada é a curva dos pontos críticos da restrição a um objeto espacial (suave) da projeção. Uma cúspide surge, portanto, como uma singularidade do contorno da imagem do objeto (visão) ou da sua sombra (computação gráfica).

Cáusticas e frentes de onda são outros exemplos de curvas que possuem cúspides visíveis no mundo real.

Ver também

Catástrofe de cúspide Cardioide

Referências

Bibliografia

Ligações externas Physicists See The Cosmos In A Coffee Cup

Categoria:Curvas algébricas Categoria:Teoria das singularidades