Na geometria, um ponto singular de uma curva é aquele onde a curva não é dada por um mergulho suave de um parâmetro. A definição exata de um ponto singular depende do tipo de curva que está a ser estudada.

Curvas algébricas no plano As curvas algébricas no plano podem ser definidas como o conjunto de pontos que satisfazem uma equação da forma , onde é uma função polinomial . Se for expandida como

Se a origem estiver na curva, então . Se , o teorema da função implícita garante a existência de uma função suave de modo que a curva tenha a forma próximo à origem. De forma análoga, se , há uma função suave de modo que a curva tenha a forma próximo à origem. Em qualquer um dos casos, há uma aplicação suave de para o plano que define a curva na vizinhança da origem. Note que na origem

portanto, a curva é não singular ou regular na origem se pelo menos uma das derivadas parciais de for diferente de zero. Os pontos singulares são aqueles na curva onde ambas as derivadas parciais se anulam,

Pontos regulares Supondo que a curva passa pela origem e escrevendo , então pode ser escrita como:

Se não for 0, então tem uma solução de multiplicidade 1 em , e a origem é um ponto de contato simples com a reta . Se , então tem uma solução de multiplicidade 2 ou superior e a reta , ou , é tangente à curva. Neste caso, se não for 0, a curva tem um ponto de duplo contato com . Se o coeficiente de , , for 0, mas o coeficiente de não for, então a origem é um ponto de inflexão da curva. Se os coeficientes de e forem ambos 0, a origem é designada como um ponto de ondulação da curva. Esta análise pode ser aplicada a qualquer ponto na curva transladando os eixos de coordenadas de forma que a origem se situe no ponto dado.Hilton, Capítulo II §1

Pontos duplos thumb|500px|none|Três limações a ilustrar os tipos de ponto duplo. Quando convertidos para coordenadas cartesianas como , a curva da esquerda adquire um acnó na origem, que é um ponto isolado no plano. A curva central, a cardioide, tem uma cúspide na origem. A curva da direita tem um crunó na origem e a curva cruza-se a si própria para formar um laço.

Se e forem ambos na expansão acima, mas pelo menos um de , , não for 0, então a origem é chamada de ponto duplo da curva. Novamente, colocando , pode ser escrita como

Os pontos duplos podem ser classificados de acordo com as soluções de .

Crunode (nó)

Se tiver duas soluções reais para , isto é, se , então a origem é designada como um crunó. A curva neste caso cruza-se a si própria na origem e tem duas tangentes distintas correspondentes às duas soluções de . A função tem um ponto de sela na origem neste caso.

Acnode

Se não tiver soluções reais para , ou seja, se , então a origem é designada como um Acnode. No plano real a origem é um ponto isolado na curva; no entanto, quando considerada como uma curva complexa a origem não é isolada e tem duas tangentes imaginárias correspondentes às duas soluções complexas de . A função tem um extremo local na origem neste caso.

Cúspides

Se tem uma única solução de multiplicidade 2 para , isto é, se , então a origem é chamada de cúspide. Neste caso, a curva muda de direção na origem, criando uma ponta aguçada. A curva tem uma única tangente na origem, que pode ser vista como duas tangentes coincidentes.

Classificação adicional O termo nó é empregado para referenciar um crunó ou um acnó, ou seja, um ponto duplo que não é uma cúspide. O número de nós e o número de cúspides de uma curva são dois dos invariantes utilizados nas fórmulas de Plücker.

Se uma das soluções de for também solução de , então o ramo correspondente da curva possui um ponto de inflexão na origem. Nesse cenário, a origem recebe o nome de flecnó. Caso ambas as tangentes apresentem esta característica, de modo que é um fator de , então a origem é referida como um biflecnó.Hilton, Capítulo II §2

Pontos múltiplos thumb|200px|right|Uma curva com um ponto triplo na origem: , Regra geral, se na função todos os termos de grau inferior a se anulam e existe, no mínimo, um termo de grau diferente de 0, afirma-se que a curva detém um ponto múltiplo de ordem , também designado por ponto k-plo. Geralmente, a curva exibirá tangentes na origem, muito embora algumas dessas tangentes possam revestir-se de natureza imaginária.Hilton, Capítulo II §3

Curvas paramétricas Uma curva parametrizada em é definida como a imagem de uma função , . Os pontos singulares são aqueles pontos em que

thumb|200px|Uma cúspide na parábola semicúbica Várias curvas podem ser definidas por qualquer uma das duas abordagens, no entanto, é possível que as duas definições divirjam. A título de exemplo, a cúspide tem a capacidade de ser definida numa curva algébrica, , ou numa curva parametrizada, . Ambas as definições conferem um ponto singular na origem. Em contraponto, um nó tal como o que se observa na curva na origem, constitui uma singularidade se a curva for tomada como curva algébrica; mas se procedermos à sua parametrização através de , observa-se que nunca assume o valor nulo, pelo que o nó não se trata de uma singularidade da curva parametrizada na aceção da definição acima exposta.

Deve haver cautela na seleção de uma parametrização. Para exemplificar, a reta tem a possibilidade de ser parametrizada por , a qual ostenta uma singularidade na origem. Quando a sua parametrização se faz através de , esta não evidencia qualquer singularidade. Sendo assim, do ponto de vista técnico, afigurasse-se mais rigoroso debater os pontos singulares de uma aplicação suave aqui, em oposição a um ponto singular de uma curva.

As definições supramencionadas podem ser expandidas de modo a abarcar curvas implícitas, as quais se encontram definidas como o conjunto de zeros de uma função suave, e não é mandatório limitar a consideração a variedades algébricas. De igual modo, é exequível o prolongamento destas definições de forma a contemplarem curvas em dimensões de ordem superior.

Um teorema de Hassler WhitneyTh. Bröcker, Differentiable Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)Bruce e Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) , (capa mole) afirma:

Qualquer conjunto fechado em ocorre como o conjunto de soluções de para alguma função suave . Adicionalmente, qualquer curva parametrizada pode ser concebida como curva implícita, propiciando que a classificação atinente aos pontos singulares pertencentes às curvas seja passível de ser examinada enquanto modelo de classificação de pontos singulares relativos a uma variedade algébrica.

Tipos de pontos singulares As singularidades possíveis englobam, entre outras: Um ponto isolado: , um acnó O cruzamento de duas retas: , um crunó Uma cúspide: , também chamada de espinódio Um tacnó: Uma cúspide ranfóide: .

Ver também Ponto singular de uma variedade algébrica Teoria das singularidades Teoria de Morse

Referências

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