En teoría de números, e particularmente en aritmética modular, unha raíz k-ésima da unidade módulo n para os enteiros positivos k, n ≥ 2, é unha raíz da unidade no anel de enteiros módulo n; é dicir, unha solución x da ecuación (ou congruencia) . Se k é o expoñente máis pequeno deste tipo para x, entón x chámase raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n.
As raíces da unidade módulo son exactamente os números enteiros que son coprimos con . De feito, estes enteiros son raíces da unidade módulo polo teorema de Euler, e os outros enteiros non poden ser raíces da unidade módulo , porque son divisores de cero módulo .
Unha raíz primitiva módulo , é un xerador do grupo de unidades do anel de enteiros módulo . Existen raíces primitivas módulo se e só se onde e son respectivamente a función de Carmichael e a función totiente de Euler.
Unha raíz de unidade módulo é unha raíz primitiva da unidade módulo para algún divisor de e, pola contra, hai raíces primitivas -ésimas da unidade módulo se e só se é un divisor de
Raíces da unidade
Propiedades
Se x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n, entón x é unha unidade (número invertíbel) cuxa inversa é . É dicir, x e n son coprimos. Se x é unha unidade, entón é unha raíz (primitiva) k-ésima da unidade módulo n, onde k é a orde multiplicativa de x módulo n. Se x é unha raíz k-ésima da unidade e non é un divisor de cero, entón , porque
A falta dun símbolo amplamente aceptado, denotamos o número de k-ésimas raíces da unidade módulo n como .
Exemplos Sexa e . Neste caso, hai tres raíces cúbicas da unidade (1, 2 e 4). Temos que , , .
Cando porén, só hai unha raíz cúbica da unidade, a propia unidade 1.
Este comportamento é bastante diferente do corpo dos números complexos onde cada número distinto de cero ten raíces k-ésimas.
Raíces primitivas da unidade
Propiedades
O máximo expoñente base posíbel para raíces primitivas módulo é , onde λ denota a función de Carmichael. Un expoñente base para unha raíz primitiva da unidade é un divisor de . Cada divisor de dá unha raíz primitiva -ésima da unidade. Pódese obter tal raíz escollendo unha -ésima raíz primitiva da unidade (que debe existir por definición de λ), denominada e calcular a potencia . Se x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade e tamén unha (non necesariamente primitiva) raíz ℓ da unidade, daquela k é un divisor de ℓ. Isto é certo, porque a identidade de Bézout produce unha combinación linealr enteira de k e ℓ igual a . Como k é mínimo, debe ser e é un divisor de ℓ .
Comprobando se x é unha raíz k-ésima primitiva da unidade módulo n Por exponenciación rápida, pódese comprobar se. Se isto é certo, x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n mais non necesariamente primitiva. Se non é unha raíz primitiva, entón ha de haber algún divisor ℓ de k, con .
É dicir, x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n se e só se e para cada divisor primo p de n.
Por exemplo, se todo número enteiro positivo menor que 17 é unha raíz 16 da unidade módulo 17, e os enteiros que son raíces primitivas 16-ésimas da unidade módulo 17 son exactamente aqueles tal que
Atopando unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n Entre as raíces primitivas k-ésimas da unidade, as raíces primitiva -ésimas son as máis frecuentes. Así, recoméndase probar algúns enteiros para ver se son unha raíz primitiva -ésima, o que terá éxito rapidamente. Para unha raíz primitiva -ésima x, o número é unha raíz primitiva -ésima da unidade. Se k non divide , entón non haberá raíces k-ésimas da unidade, en absoluto. Notas
Véxase tamén Outros artigos aritmética modular raíz da unidade
Categoría:Teoría de números