Na álxebra linear, o polinomio característico dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes.
O polinomio característico dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base).
A ecuación característica, tamén coñecida como ecuación determinante, é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.
Na teoría de grafos espectral, o polinomio característico dun grafo é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia.
Definición formal Considere unha matriz . O polinomio característico de denotado como é o polinomio definido por onde denota a matriz de identidade .
Algúns autores definen o polinomio característico ser
Exemplos Para calcular o polinomio característico da matriz calcúlase o determinante da seguinte matriz: e atopamos que o polinomio característico de ven sendo
Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico φ como coeficientes da matriz. Para a matriz o seu polinomio característico é
Propiedades O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de son precisamente as raíces de .
Para as matrices de dimensión o polinomio característico vén dado por
O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo por no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante como veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.
Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.
A matriz e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico. é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan.
Polinomio característico de Ak Se é un eigenvalor dunha matriz cadrada con eigenvector entón é un eigenvalor de porque
Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de :
O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo. Porén, a suposición de que ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Valor propio, vector propio e espazo propio Ligazóns externas
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Polinomios Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas