En álxebra linear, unha matriz ortogonal, ou matriz ortonormal, é unha matriz cadrada de coeficientes reais cuxas columnas e filas son vectores ortonormais.
Unha forma de expresalo é
onde é a transposta de e é a matriz identidade.
Isto leva á caracterización equivalente: unha matriz é ortogonal se a súa transposición é igual á súa inversa:
onde é a inversa de .
Unha matriz ortogonal é necesariamente invertíbel (con inverso ), unitaria (), onde é a adxunta hermitiana (conxugada transposta) de e, polo tanto, normal () nos números reais. O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou −1. Como transformación linear, unha matriz ortogonal conserva o produto interno dos vectores e, polo tanto, actúa como unha isometría do espazo euclidiano, como unha rotación ou unha reflexión Noutras palabras, é unha transformación unitaria.
O conxunto das matrices ortogonais , baixo multiplicación, forma o grupo , coñecido como grupo ortogonal. O subgrupo que consta das matrices ortogonais co determinante +1 chámase grupo ortogonal especial. Como transformación linear, cada matriz ortogonal especial actúa como unha rotación.
Descrición xeral thumb|275px|Se A é unha matriz ortogonal e B é a súa transposta AT, o ij-ésimo elemento do produto AAT desaparecerá se i≠j, porque a i-ésima fila de A é ortogonal á j-ésima fila de A e por tanto en B estará como columna.
Aínda que aquí só consideramos matrices de reais, a definición pódese usar para matrices con entradas de calquera corpo. No entanto, as matrices ortogonais xorden naturalmente a partir do produto escalar, mais para as matrices de números complexos hai que remitirse ao requisito de unitario.
As matrices ortogonais preservan o produto escalar,"Apuntes de matemáticas en liña de Paul" , The Paulmar University]8. 3(c) polo tanto, para os vectores e nun espazo euclidiano real -dimensional
onde é unha matriz ortogonal.
Así as isometrías lineares de dimensión finita (rotacións, reflexións e as súas combinacións) producen matrices ortogonais. E viceversa: as matrices ortogonais implican transformacións ortogonais. No entanto, a álxebra linear inclúe transformacións ortogonais entre espazos que poden non ser nin de dimensión finita nin da mesma dimensión, e estes non teñen un equivalente en matriz ortogonal.
As matrices ortogonais son importantes por varias razóns, tanto teóricas como prácticas. As matrices ortogonais forman un grupo baixo a multiplicación matricial, o grupo ortogonal denotado por , que xunto aos seus subgrupos, é moi utilizado en matemáticas e ciencias físicas.
Exemplos Abaixo amósanse algúns exemplos de pequenas matrices ortogonais e posíbeis interpretacións. (Transformación identidade) (rotación sobre a orixe) (reflexión a través do eixo "x") (permutación de eixos de coordenadas)
Construcións elementais
Dimensións máis baixas As matrices ortogonais máis simples son as matrices e [−1] de dimensións , que podemos interpretar como a identidade e o como a reflexión da liña real a través da orixe.
As matrices de dimensións teñen a forma
nas que a ortogonalidade esixe satisfacer as tres ecuacións
Tendo en conta a primeira ecuación, sen perda de xeneralidade sexa , ; entón , ou , . Podemos interpretar o primeiro caso como unha rotación de (onde é a identidade), e o segundo como unha reflexión a través dunha liña nun ángulo de .
O caso especial da matriz de reflexión con xera unha reflexión sobre a recta a 45° dada por e polo tanto troca e ; é unha matriz de permutación, cun único 1 en cada columna e fila (e doutro xeito 0):
A identidade tamén é unha matriz de permutación.
Unha reflexión é a súa propia inversa, o que implica que unha matriz de reflexión é simétrica (igual á súa transposta) así como ortogonal. O produto de dúas matrices de rotación é unha matriz de rotación, e o produto de dúas matrices de reflexión tamén é unha matriz de rotación.
Dimensións máis altas Independentemente da dimensión, sempre é posíbel clasificar as matrices ortogonais como puramente rotacionais ou non, mais para matrices e maiores, as matrices non de rotación poden ser máis complicadas que as reflexións. Por exemplo,
representan unha simetría central a través da orixe e unha rotación impropia, respectivamente, sobre o eixo .
As rotacións complícanse en dimensións máis altas; xa non poden caracterizarse completamente por un ángulo e poden afectar a máis dun subespazo plano. É común describir unha matriz de rotación en termos dun eixo e un ángulo, mais isto só funciona en tres dimensións. Por riba das tres dimensións son necesarios dous ou máis ángulos, cada un asociado a un plano de rotación.
No entanto, temos bloques de construción elementais para permutacións, reflexións e rotacións que se aplican en xeral.
Primitivas A permutación máis elemental é unha transposición obtida a partir da matriz identidade trocando dúas filas. Calquera matriz de permutación pode construírse como un produto de non máis de transposicións.
Unha reflexión de Householder constrúese a partir dun vector non nulo como
Aquí o numerador é unha matriz simétrica mentres que o denominador é un número, a magnitude ao cadrado de .
Unha rotación de Givens actúa nun subespazo bidimensional (planar) abranguido por dous eixos de coordenadas, xirando nun ángulo elixido.
Unha rotación de Jacobi ten a mesma forma que unha rotación de Givens, mais úsase para poñer a cero as dúas entradas fóra da diagonal dunha submatriz simétrica .
Propiedades
Propiedades da matriz Unha matriz cadrada real é ortogonal se e só se as súas columnas forman unha base ortonormal do espazo euclidiano co produto escalar euclidiano, que tamén e o caso se e só se as súas filas forman unha base ortonormal de .
O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou −1. Isto despréndese dos feitos básicos sobre os determinantes, como segue:
A inversa non é verdade; ter un determinante de ±1 non é garantía de ortogonalidade, mesmo con columnas ortogonais, como mostra o seguinte contraexemplo.
Nas matrices de permutación o determinante coincide coa sinatura, sendo +1 ou −1 xa que a paridade da permutación é par ou impar, pois o determinante é unha función alterna das filas.
Máis forte que a restrición do determinante é o feito de que unha matriz ortogonal sempre pode ser diagonalizada sobre os números complexos para mostrar un conxunto completo de valores propios onde todos eles deben ter módulo (complexo) 1.
Propiedades do grupo O inverso de toda matriz ortogonal é de novo ortogonal, así como o produto matricial de dúas matrices ortogonais. De feito, o conxunto de todas as matrices ortogonais satisfai todos os axiomas dun grupo. É un grupo de Lie compacto de dimensión , chamado grupo ortogonal e denotado por .
As matrices ortogonais cuxo determinante é +1 forman un subgrupo normal conexo de de índice 2, o grupo ortogonal especial de rotacións. O grupo cociente é isomorfo a , co mapa de proxección escollendo [+1] ou [−1] segundo o determinante.
As matrices ortogonais co determinante −1 non inclúen a identidade, polo que non forman un subgrupo senón só un coset; tamén é (separadamente) conexo.
Considere agora as matrices ortogonais coa entrada inferior dereita igual a 1. O resto da última columna (e da última fila) deben ser ceros e o produto de dúas matrices calquera ten a mesma forma. O resto da matriz é unha matriz ortogonal ; así é un subgrupo de (e de todos os grupos superiores).
Dado que unha reflexión elemental en forma de Matriz de Householder pode reducir calquera matriz ortogonal a esta forma restrinxida, unha serie desas reflexións pode levar calquera matriz ortogonal á identidade; polo tanto, un grupo ortogonal é un grupo de reflexión. A última columna pódese fixar a calquera vector unitario, e cada opción dá unha copia diferente de en ; deste xeito é un fibrado sobre a esfera unitaria con fibra .
Do mesmo xeito, é un subgrupo de ; e calquera matriz ortogonal especial pode xerarse cunha Rotación de Givens usando un procedemento análogo. A estrutura do fibrado persiste: . Unha soa rotación pode producir un cero na primeira fila da última columna, e a series de rotacións poñerán a cero todas menos a última fila da última columna dunha matriz de rotación . Dado que os planos son fixos, cada xiro só ten un grao de liberdade, o seu ángulo. Por indución, ten, polo tanto
graos de liberdade, e tamén o fai .
As matrices de permutación son aínda máis sinxelas; non forman un grupo de Lie, senón só un grupo finito, de orde que é a do grupo simétrico . Polo mesmo tipo de argumento, é un subgrupo de . As permutacións pares producen o subgrupo de matrices de permutación do determinante +1, de orde que é o grupo alternante.
Forma canónica De forma máis ampla, o efecto de calquera matriz ortogonal sepárase en accións independentes en subespazos bidimensionais ortogonais. É dicir, se é ortogonal especial, sempre se pode atopar unha matriz ortogonal , unha mudanza de base (rotacional), que leva a en forma diagonal de bloque:
onde as matrices son matrices de rotación, e coas entradas restantes a cero.
Excepcionalmente, un bloque de rotación pode ser diagonal, . Así, negando unha columna se é necesario, e observando que unha reflexión diagonaliza a +1 e −1, calquera matriz ortogonal pódese levar á forma
As matrices dan pares conxugados de valores propios situados na circunferencia unitaria no plano complexo; polo que esta descomposición confirma que todos os valores propios teñen valor absoluto 1. Se é impar, hai polo menos un autovalor real, +1 ou −1; para unha rotación , o vector propio asociado a +1 é o eixo de rotación.
Álxebra de Lie Supoña que as entradas de son funcións diferenciábeis de e que dá . Diferenciar a condición de ortogonalidade
produce
A avaliación en () implica entón
En termos de grupos de Lie, isto significa que a álxebra de Lie dun grupo de matrices ortogonais consta de matrices antisimétricas. Indo na outra dirección, a exponencial dunha matriz de calquera matriz antisimétrica é unha matriz ortogonal (de feito, ortogonal especial).
Por exemplo, a física de obxectos tridimensionais que se chama velocidade angular é unha rotación diferencial e por tanto un vector da álxebra de Lie tanxente a .
Dado , sendo un vector unitario, a forma correcta de matriz antisimétrica de ω é
A exponencial desta é a matriz ortogonal para a rotación arredor do eixo polo ángulo ; facendo , , temos
Álxebra linear numérica
Beneficios A análise numérica aproveita moitas das propiedades das matrices ortogonais para a álxebra linear numérica, e xorden de forma natural. Por exemplo, moitas veces é desexábel calcular unha base ortonormal para un espazo, ou unha mudanza ortogonal de bases; ambos transformacións adoptan a forma de matrices ortogonais.
Ter determinante ±1 e todos os eigenvalores de magnitude 1 é de gran beneficio para a estabilidade numérica. Unha implicación é que o número de condicionamento é 1 (que é o mínimo), polo que os erros non se amplían ao multiplicar cunha matriz ortogonal. Moitos algoritmos, por este motivo, usan matrices ortogonais como as reflexións de Householder e as rotacións de Givens.
As permutacións son esenciais para o éxito de moitos algoritmos, incluíndo o cabalo de batalla da eliminación de Gauss con pivote parcial (onde as permutacións fan o pivote). Porén, raramente aparecen explicitamente como matrices; a súa forma especial permite unha representación máis eficiente, como unha lista de índices .