Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto , denotado usualamente por (ou ), é o conxunto de elementos que non están en .

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado , o complemento absoluto de é o conxunto de elementos en que non están en .

O complemento relativo de en relación a un conxunto , tamén denominado diferenza de conxuntos de e , escrito é o conxunto de elementos en que non están en .

150px|thumb|O complemento absoluto do disco branco é a zona vermella Complemento absoluto Se é un conxunto, entón o complemento absoluto de (ou simplemente o complemento de ) é o conxunto de elementos que non están en (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): O conxunto no que se considera o complemento menciónase implícitamente nun complemento absoluto, e explicitamente nun complemento relativo.Adoita denotarse por . Outras notacións son .

Exemplos

Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se é o conxunto de números impares, entón o complemento de é o conxunto de números pares. Se é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3). Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto é o pau dos ouros, entón o complemento de é a unión dos paus de espadas, bastos e copas. Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

Propiedades Sexan e dous conxuntos nun universo . As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan: .

Leis do complementario: .

(isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

Relación coa diferenza:

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se é un subconxunto propio non baleiro de , entón } é unha partición de .

Complemento relativo thumb|230x230px|O complemento relativo de en : Definición Se e son conxuntos, entón o complemento relativo de en (expresado ), . tamén denominado diferenza de conxuntos de e (por iso ás veces tamén se expresa como ), . é o conxunto de elementos que están en pero non están en .

Formalmente:

Exemplos

Se é o conxunto dos números reais e é o conxunto de números racionais, entón é o conxunto de números irracionais.

Propiedades Sexan , e tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

co caso especial importante demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.

Se , entón . é equivalente a .

Relación complementaria Unha relación binaria defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos A relación complementaria é o complemento do conxunto de en O complemento de relación pódese escribirXunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Unión. Intersección . Álxebra de conxuntos.

Ligazóns externas

Categoría:Teoría de conxuntos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas