En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función é continua no intervalo pechado e limitado , entón debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números e en tal que:
O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo.
Comparación co teorema da limitación O teorema de Weierstrass é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua no intervalo pechado está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais e tal que:
Isto non di que e sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de no intervalo que é o que estipula o teorema de Weierstrass.
Historia O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano-Weierstrass.
Funcións ás que non se aplica o teorema
Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado.
definido sobre non está limitado superiormente. definido sobre está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo . definido sobre non está limitado superiormente. definido sobre está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo .
Definir nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Teoremas de Weierstrass
Categoría:Análise matemática Weierstrass
de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum