En matemáticas, el método del descenso más pronunciado o método del punto de silla (también conocido como método del descenso más rápido) es una extensión del método de Laplace para aproximar una integral, en el que se deforma un contorno de integración en el plano complejo para que pase cerca de un punto estacionario (punto de silla), aproximadamente en la dirección de descenso más rápido o de fase estacionaria. La aproximación del punto de silla se utiliza con integrales en el plano complejo, mientras que el método de Laplace se emplea con integrales reales.

La integral que se desea estimar suele tener la forma

donde C es un contorno y λ es grande. Una versión del método del descenso más rápido deforma el contorno de integración C en una nueva integración de ruta C′, de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

C′ pasa por uno o más ceros de la derivada g′(z) La parte imaginaria de g(z) es constante sobre C′

El método del descenso más rápido fue publicado por primera vez por , quien lo utilizó para estimar la función de Bessel y señaló que aparecía en una nota inédita de sobre funciones hipergeométricas. El contorno de descenso más rápido posee una propiedad minimax; véase . describió otras notas inéditas de Riemann, en las que este utilizaba dicho método para deducir la fórmula de Riemann–Siegel.

Cuando se aplica a la distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias independientes en estadística, el método del descenso más rápido recibe el nombre de método de aproximación por punto de silla. En mecánica estadística, esta aproximación se utiliza ampliamente en el límite termodinámico para evaluar funciones de partición y energías libres.

Idea básica El método del descenso más rápido es un procedimiento para aproximar una integral compleja de la forma

para valores grandes de , donde y son funciones analíticas de . Dado que el integrando es analítico, el contorno puede deformarse en un nuevo contorno sin alterar el valor de la integral. En particular, se busca un nuevo contorno en el que la parte imaginaria, denotada como , de sea constante ( denota la parte real). Entonces : y la integral restante puede aproximarse mediante otros métodos, como el método de Laplace.

Etimología El método se denomina método de descenso más pronunciado porque, para funciones analíticas , los contornos de fase constante son equivalentes a los contornos de descenso más pronunciado.

Si es una función analítica de , satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Entonces

por lo que los contornos de fase constante son también contornos de descenso más pronunciado.

Estimación simple Sean y . Si

donde denota la parte real, y existe un número real positivo tal que

entonces se cumple la siguiente estimación:Una versión modificada del Lema 2.1.1 en la página 56 en .

Demostración de la estimación simple:

Caso de un único punto de silla no degenerado

Nociones básicas y notación Sea un vector complejo de dimensión , y

denote la matriz hessiana para una función . Si

es una función vectorial, entonces su matriz jacobiana se define como

Un punto de silla no degenerado, , de una función holomorfa es un punto crítico de la función (es decir, ) donde la matriz hessiana de la función tiene un determinante no nulo (es decir, ).

La siguiente es la herramienta principal para construir las asintóticas de las integrales en el caso de un punto de silla no degenerado:

Lema de Morse complejo El lema de Morse para funciones de valor real se generaliza de la siguiente maneraLemma 3.3.2 on page 113 in para funciones holomorfas: cerca de un punto de silla no degenerado de una función holomorfa , existen coordenadas en términos de las cuales es exactamente cuadrática. Para precisar esto, sea una función holomorfa con dominio , y sea en un punto de silla no degenerado de , es decir, y . Entonces, existen entornos de y de , y una función holomorfa biyectiva con tal que

Aquí, los son los autovalores de la matriz .

Expansión asintótica en el caso de un único punto de silla no degenerado Supóngase que y son funciones holomorfas en un conjunto abierto acotado, simplemente conexo y , tales que es conexo tiene un único máximo: en exactamente un punto es un punto de silla no degenerado (es decir, y )

Entonces, se cumple la siguiente relación asintótica

donde son valores propios de la matriz hessiana y se definen con argumentos

Esta afirmación es un caso particular de resultados más generales presentados por Fedoryuk (1987)., páginas 417-420.

La ecuación (8) también se puede escribir como

donde la rama de

se selecciona de la siguiente manera

Además, se onsideran casos especiales importantes:

Si es de valor real para y reales en (es decir, el método de Laplace multidimensional), entonces:Consulte la ecuación (4.4.9) en la página 125 en Si es puramente imaginario para real (es decir, para todo en ) y en (es decir, el método de fase estacionaria multidimensional),En rigor, este caso no puede deducirse de la ecuación (8) porque la segunda hipótesis, utilizada en la deducción, se incumple. Para incluir el caso analizado de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debería sustituirse por entonces:Consúltese la ecuación (2.2.6') en la página 186 en donde denota the signature of matrix , que es igual al número de autovalores negativos menos el número de los positivos. Cabe destacar que, en las aplicaciones del método de fase estacionaria a la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica (así como en óptica), está relacionado con Maslov index; véanse, por ejemplo, y .

Caso de múltiples puntos de silla no degenerados Si la función tiene múltiples puntos de silla aislados no degenerados, es decir,

donde

es un recubrimiento de , entonces el cálculo de la integral asintótica se reduce al caso de un solo punto de silla empleando la partición de la unidad. La partición de la unidad nos permite construir un conjunto de funciones continuas tal que

De donde,

Por lo tanto como se tiene que:

donde la ecuación (13) se utilizó en la última etapa, y la función preexponencial al menos debe ser continua.

Otros casos Cuando y , el punto se denomina punto de silla degenerado de una función .

Se calcula el comportamiento asintótico de

cuando es continua y presenta un punto de silla degenerado es un problema muy rico, cuya solución depende en gran medida de la teoría de las catástrofes. Aquí, la teoría de catástrofes sustituye al lema de Morse —válida solo en el caso no degenerado— para transformar la función en una de las múltiples representaciones canónicas. Para más detalles, véanse, por ejemplo, y .

Las integrales con puntos de silla degenerados aparecen de forma natural en muchas aplicaciones, incluidas cáusticas ópticas y la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica.

Otros casos, como por ejemplo y/o , que son discontinuos o en los que un extremo de se sitúa en el borde de la región de integración, requieren especial atención (véanse, por ejemplo, y ).

Extensiones y generalizaciones Una extensión del método del descenso más rápido es el denominado método no lineal de fase estacionaria/descenso más rápido. En este caso, en lugar de integrales, es necesario evaluar asintóticamente las soluciones de problemas de factorización de Riemann-Hilbert.

Dado un contorno C en la esfera de Riemann, una función f definida sobre dicho contorno y un punto especial (por ejemplo, el infinito), se busca una función M holomorfa fuera del contorno C, con un salto prescrito a través de C y una normalización dada en el infinito. Si f —y, por tanto, M— son matrices en lugar de escalares, se trata de un problema que, por lo general, no admite una solución explícita.

Entonces es posible realizar una evaluación asintótica siguiendo las líneas del método lineal de fase estacionaria/descenso más rápido. La idea consiste en reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann-Hilbert dado a la de un problema de Riemann-Hilbert más sencillo y resoluble explícitamente. Se utiliza el teorema de Cauchy para justificar las deformaciones del contorno de salto.

El método no lineal de fase estacionaria fue introducido por Deift y Zhou en 1993, basándose en trabajos anteriores del matemático ruso Aleksandr Its. Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller introdujeron en 2003 un método de descenso más pronunciado (o de descenso más pronunciado) no lineal —propiamente dicho—, basado en trabajos previos de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Al igual que en el caso lineal, los contornos de descenso más pronunciado resuelven un problema de tipo mín-máx. En el caso no lineal, resultan ser curvas S (definidas en un contexto diferente durante los años 1980 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).

El método no lineal de fase estacionaria o de descenso más rápido tiene aplicaciones en la teoría de las ecuaciones del solitón y de sistemas hamiltonianos integrables, matrices aleatorias y combinatoria.

Otra extensión es el método de Chester-Friedman-Ursell para puntos de silla coalescentes y extensiones asintóticas uniformes.

Véase también Integral de Pearcey Método de la fase estacionaria Método de Laplace Problema de Riemann-Hilbert

Referencias

Bibliografía Chaichian, M.; Demichev, A. (2001), Path Integrals in Physics Volume 1: Stochastic Process and Quantum Mechanics, Taylor & Francis, p. 174, ISBN 075030801X

English translation in .

. [in Russian].

(Unpublished note, reproduced in Riemann's collected papers.) Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966. Traducido al inglés en .

Categoría:Análisis asintótico Categoría:Teoría de perturbaciones