En teoría de grupos, el producto de corona (también producto corona o producto en corona) es una combinación especial de dos grupos basada en el producto semidirecto. Está formado por la acción de un grupo sobre muchas copias de otro grupo, algo análogo a la potenciación. Los productos de corona se utilizan en la clasificación del grupo de permutaciones y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.
Dados dos grupos y (a veces conocidos como inferior y superior), existen dos variantes del producto de corona: el producto de corona sin restricciones y el producto de corona restringido . La forma general, denotada por o respectivamente, requiere que actúe sobre algún conjunto . Cuando no se especifica, generalmente (un producto de corona normal), aunque a veces se puede tratar de un diferente. Las dos variantes coinciden cuando , y son todos finitos. Cualquiera de las variantes también se indica como (con \wr para el símbolo de LaTeX) o A ≀ H (Unicode U+2240).
La noción se generaliza a semigrupo y, como tal, es una construcción central en la teoría de la estructura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.
Definición
Sea un grupo y sea un grupo actuando sobre un conjunto (a la izquierda). El producto directo de indexado por es el conjunto de secuencias en , indexadas por , con una operación de grupo dada por la multiplicación puntual. La acción de en se puede extender a una acción en reindexando, es decir, definiendo
para todos los y todos los .
Entonces, el producto de corona sin restricciones de por es el producto semidirecto con la acción de sobre indicada anteriormente. El subgrupo de se denomina base del producto de corona.
El producto de corona restringido se construye de la misma manera que el producto de corona sin restricciones, excepto que se utiliza la suma directa como base del producto de corona. En este caso, la base consta de todas las secuencias en con un número finito de entradas que no son la identidad. Las dos definiciones coinciden cuando es finito.
En el caso más común, y actúan sobre sí mismos mediante multiplicación por la izquierda. En este caso, el producto de corona restringido y sin restricciones puede denominarse y respectivamente. Esto se llama producto de corona "normal".
Notación y convenciones
La estructura del producto de corona de por depende del conjunto de y, en caso de que sea infinito, también depende de si se utiliza el producto de corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura la notación utilizada puede ser deficiente y es necesario prestar atención a las circunstancias.
En la literatura, puede representar el producto de corona sin restricciones o el producto de corona restringido . En la literatura, el conjunto puede omitirse de la notación incluso si . En el caso especial de que sea el grupo simétrico de grado , es común en la literatura asumir que (con la acción natural de ) y luego omitir de la notación. Es decir, comúnmente denota en lugar del producto de corona normal . En el primer caso el grupo base es el producto de copias de , en el último es el producto de n! copias de .
Propiedades
Convención del producto de corona restringido y sin restricciones en O finito Dado que el producto directo finito es el mismo que la suma directa finita de grupos, se deduce que el producto corona no restringido y el producto corona restringido son iguales si es finito. En particular, esto es cierto cuando y son finitos.
Subgrupo es siempre un subgrupo de .
Cardinalidad Si , y son finitos, entonces
.Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
Teorema de embebido universal Si es una extensión de por , entonces existe un subgrupo del producto de corona sin restricciones que es isomorfo a .M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. 14, pp. 69–82 (1951) Esto también se conoce como el teorema de embebido de Krasner-Kaloujnine. El teorema de Krohn-Rhodes implica lo que es básicamente el equivalente de semigrupo de este.
Acciones canónicas de los productos de corona Si el grupo actúa sobre un conjunto , entonces hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de y sobre los que (y por tanto también ) puede actuar.
La acción del producto corona imprimitivo en : Si y , entonces
La acción del producto corona primitivo en : Un elemento en es una secuencia indexada por el conjunto . Dado un elemento , su operación en viene dada por
Ejemplos El grupo de faroleros es el producto de corona restringido . El grupo simétrico generalizado es . La base de este producto de corona es el producto directo -múltiple , donde la acción de grupo simétrico viene dada por .J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), pp. 615–620 Como caso especial, se tiene el grupo hiperoctaédrico (ya que es isomorfo a ).P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42. El producto de corona no trivial más pequeño es , que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaédrico anterior. Es el grupo de simetría del cuadrado, también llamado , el grupo diédrico de orden 8. Sea un número primo y sea . Sea un p-subgrupo de Sylow del grupo simétrico . Entonces, es isomorfo al producto de corona regular iterado de copias de . Aquí, y son para todo .Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948) Por ejemplo, el 2-subgrupo de Sylow de es el grupo mencionado anteriormente. El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo normal de índice 12 en el producto de productos de coronas, , cuyos factores corresponden a las simetrías de los 8 vértices y 12 aristas. El grupo de transformaciones que preservan la validez del Sudoku contiene el producto de corona doble , donde los factores son la permutación de filas/columnas dentro de una "banda" o "pila" de 3 filas o 3 columnas (), la permutación de las mismas bandas/pilas () y la transposición, que intercambia las bandas y pilas (). Aquí, los dos conjuntos de índices son, en primer lugar, el conjunto de bandas (respectivamente, pilas), por lo que , y en segundo lugar, el conjunto de bandas y pilas (por lo que ). En consecuencia, y . Los productos de corona surgen naturalmente en las simetrías de árboles con raíz completa y sus grafos. Por ejemplo, el producto de corona repetido (iterado) es el grupo de automorfismos de un árbol binario completo.
Referencias
Enlaces externos Producto de corona en Encyclopaedia of Mathematics. Charles Wells, "Algunas aplicaciones de la construcción del producto de corona", revisado.
Categoría:Grupos de permutación Categoría:Operadores binarios