Un grafo de Erdős diofántico es un objeto del conjunto matemático de las ecuaciones diofánticas, que consiste en un conjunto de puntos de coordenadas enteras situados a distancias enteras en el plano, que no puede extenderse con puntos adicionales. De forma equivalente, en teoría geométrica de grafos, se puede describir como un grafo completo con vértices ubicados en el retículo entero cuadrado , de modo que todas las distancias mutuas entre los vértices son enteras, mientras que todos los demás puntos de la cuadrícula tienen una distancia no entera a al menos un vértice.
Los grafos de Erdős diofánticos reciben su nombre de Paul Erdős y de Diofanto de Alejandría. Forman un subconjunto del conjunto de figuras diofánticas, que se definen como grafos completos en el plano diofántico para los cuales la longitud de todas las aristas es entera (grafo de distancias unitarias). Por lo tanto, los grafos de Erdős diofánticos son precisamente las figuras diofánticas que no pueden extenderse. La existencia de grafos de Erdős diofánticos se deduce del teorema de Erdős-Anning, según el cual las figuras diofánticas infinitas deben ser colineales en el plano diofántico. Por lo tanto, cualquier proceso de extensión de una figura diofántica no colineal mediante la adición de vértices debe, finalmente, alcanzar una figura que ya no se puede extender.
Ejemplos Cualquier conjunto de cero o un punto se puede extender trivialmente, y cualquier conjunto diofántico de dos puntos se puede extender añadiendo más puntos en la misma línea. Por consiguiente, todos los conjuntos diofánticos con menos de tres nodos se pueden extender, por lo que no pueden existir grafos de Erdős diofánticos con menos de tres nodos.
Mediante búsqueda numérica, ha demostrado que sí existen grafos de Erdős-Diofánticos de tres nodos. El triángulo de Erdős-Diofántico más pequeño se caracteriza por longitudes de arista de 2066, 1803 y 505. El siguiente triángulo de Erdős-Diofántico más grande tiene aristas de 2549, 2307 y 1492. En ambos casos, la suma de las longitudes de las tres aristas es par. Brancheva ha demostrado que esta propiedad se cumple para todos los triángulos de Erdős diofánticos. De forma más general, la longitud total de cualquier camino cerrado en un grafo de Erdős diofántico siempre es par.
Un ejemplo de un grafo de Erdős diofántico de 4 nodos lo proporciona el grafo completo formado por los cuatro nodos ubicados en los vértices de un rectángulo de lados 4 y 3.
Referencias
Diophantine graph Categoría:Ecuaciones diofánticas Categoría:Geometría algebraica Categoría:Geometría discreta Categoría:Grafos geométricos Categoría:Problemas aritméticos de geometría plana