En matemáticas, la desigualdad de van der Corput es un corolario de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz que es útil en el estudio de la correlación entre vectores y, por tanto, de variable aleatoria. También es útil en el estudio de series equidistribuidas, por ejemplo en la estimación de equidistribución de Weyl.
En términos generales, la desigualdad de van der Corput afirma que si un vector unitario en un espacio prehilbertiano está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces muchos de los pares deben estar fuertemente correlacionados entre sí. Aquí, la noción de correlación se precisa mediante el espacio prehilbertiano del espacio : cuando el valor absoluto de está cerca de , entonces se considera que y están fuertemente correlacionados. De manera más general, si los vectores involucrados no son vectores unitarios, entonces una correlación fuerte significa que .
Declaración de la desigualdad
Sea un espacio vectorial con producto interno real o complejo, cuyo producto interno es y el vector inducido por la norma es . Supóngase que y que . Entonces:
En términos de la heurística de correlación mencionada anteriormente, si está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces el lado izquierdo de la desigualdad será grande, lo que obliga a que una proporción significativa de los vectores estén fuertemente correlacionados entre sí.
Demostración de la desigualdad Se comienza observando que para cualquier existe (real o complejo) tal que y . Entonces,
dado que el producto interno es bilineal por la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz por la definición de la norma inducida dado que es un vector unitario y el producto interno es bilineal dado que es válido para todo .
Referencias
Enlaces externos Una entrada de blog de Terence Tao sobre la transitividad de la correlación, incluyendo la desigualdad de van der Corput
Categoría:Desigualdades Categoría:Aproximación diofántica