En geometría, el chaflán, achaflanado, biselado o truncamiento de aristas es un operador topológico que modifica un poliedro en otro. Es similar a la expansión, separando las caras de una figura hacia afuera, pero mantiene los vértices originales. Para poliedros, esta operación agrega una nueva cara hexagonal que sustituye a cada arista original.
En la notación de poliedros de Conway se representa con la letra . Un poliedro con aristas tendrá una forma achaflanada que contiene vértices nuevos, y aristas nuevas y caras hexagonales nuevas.
Sólidos platónicos achaflanados o biselados
En los apartados siguientes se describen en detalle los chaflanes de los cinco sólidos platónicos. Cada uno se muestra en una versión con aristas de igual longitud y en una versión canónica donde todas las aristas tocan la misma interesfera (solo se aprecian como notablemente diferentes en el caso de los sólidos que contienen triángulos). Los poliedros conjugados que se muestran son duales a las versiones canónicas.
Original {3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}Achaflanado
Tetraedro achaflanado
Tetraedro achaflanado(Con todas las aristas de igual longitud)Notación de ConwaycTPoliedro de GoldbergGPIII(2,0)= {3+,3}2,0Caras4 triángulos6 hexágonosAristas24 (2 tipos)Vértices16 (2 tipos)Configuración de vértices(12) 3.6.6(4) 6.6.6Grupo de simetríaTetraédrico (Td)Poliedro conjugadoTriaquis tetratetraedro alternadoPropiedadesConvexo, caras equiláterasDesarrollo
El tetraedro achaflanado (o cubo truncado alternado) es un poliedro convexo construido mediante una operación de alternado de un cubo truncado o como el achaflanado de un tetraedro, reemplazando sus 6 aristas por hexágonos.
Es el poliedro de Goldberg GIII(2,0), que contiene caras triangulares y hexagonales.
+ Tetraedros achaflanados y sólidos relacionadosTetraedro achaflanado (canónico)Dual del tetratetraedroTetraedro achaflanado (canónico)Triaquis tetratetraedro alternadoOctaedroTriaquis tetratetraedro alternado
Cubo achaflanado
Cubo achaflanado(Con todas las aristas de igual longitud)Notación de ConwaycC= t4daCPoliedro de GoldbergGPIV(2,0)= {4+,3}2,0Caras6 cuadrados12 hexágonosAristas48 (2 tipos)Vértices32 (2 tipos)Configuración de vértices(24) 4.6.6(8) 6.6.6SimetríaOh, [4,3], (*432)Th, [4,3+], (3*2)Poliedro conjugadoTetraquis cuboctaedroPropiedadesConvexo, caras equiláterasDesarrollo
El cubo achaflanado es un poliedro convexo con 32 vértices, 48 aristas y 18 caras (12 hexágonos y 6 cuadrados). Se construye mediante el achaflanado de un cubo. Los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales sustituyendo a las aristas originales. Su dual es el tetraquis cuboctaedro.
También se le llama incorrectamente dodecaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicuboctaedro. Se puede llamar con más precisión dodecaedro rómbico tetratruncado porque solo los vértices de orden 4 están truncados.
Las caras hexagonales son equiláteras pero no regulares. Están formadas por un rombo truncado, tienen 2 ángulos internos de unos 109,47° y 4 ángulos internos de unos 125,26°, mientras que un hexágono regular tendría todos los ángulos de 120°.
Como todas sus caras tienen un número par de lados con simetría de rotación de 180°, es un zonoedro. También es un poliedro de Goldberg GPIV(2,0) o {4+,3}2,0, que contiene caras cuadradas y hexagonales.
El cubo biselado es la suma de Minkowski de un dodecaedro rómbico y un cubo de lado 1 cuando ocho vértices del dodecaedro rómbico están en y sus seis vértices están en las permutaciones de .
Se puede construir un equivalente de topológico con simetría tetraédrica y caras rectangulares achaflanando los bordes axiales de un dodecaedro. Esta configuración es frecuente en los cristales de pirita.
+ Octaedro achaflanado y sólidos relacionadosCubo achaflanado (canónico)RombododecaedroOctaedro achaflanado (canónico)Tetraquis cuboctaedroCuboctaedroTriaquis cuboctaedro
Octaedro achaflanado
Octaedro achaflanado(Con todas las aristas de igual longitud)Notación de ConwaycO= t3daOCaras8 triángulos12 hexágonosAristas48 (2 tipos)Vértices30 (2 tipos)Configuración de vértices(24) 3.6.6(6) 6.6.6SimetríaOh, [4,3], (*432)Poliedro conjugadoTriaquis cuboctaedroPropiedadesConvexo
En geometría, el octaedro achaflanado es un poliedro convexo que se puede construir a partir de un rombododecaedro por truncado de sus 8 vértices de orden 3.
También se le puede llamar dodecaedro rómbico tritruncado, en referencia al mencionado truncado de los vértices de orden 3 del rombododecaedro.
Los 8 vértices se truncan de manera que todas las aristas tienen la misma longitud. Las 12 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos planos y los vértices truncados se convierten en triángulos.
Las caras hexagonales son equiláteras pero no regulares.
Dodecaedro achaflanado
Dodecaedro achaflanado(Con todas las aristas de igual longitud)Notación de Conway= t5daD= dk5aDPoliedro de GoldbergGV(2,0)= {5+,3}2,0FullerenoC80Caras12 pentágonos30 hexágonosAristas120 (2 tipos)Vértices80 (2 tipos)Configuración de vértices(60) 5.6.6(20) 6.6.6Grupo de simetríaIcosaédrica (Ih)Poliedro conjugadoPentaquis icosidodecaedroPropiedadesConvexo, caras equiláteras
El dodecaedro achaflanado es un poliedro convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 30 hexágonos y 12 pentágonos. Se construye como un achaflanado de un dodecaedro regular. Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el pentaquis icosidodecaedro.
También se le llama incorrectamente triacontaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicosidodecaedro. Se puede llamar con más precisión un triacontaedro rómbico pentatruncado porque solo los vértices de orden 5 están truncados.
+ Icosaedro achaflanado y sólidos relacionadosDodecaedro achaflanado (canónico)Triacontaedro rómbicoIcosaedro achaflanado (canónico)Pentaquis icosidodecaedroIcosidodecaedroTriaquis icosidodecaedro
Icosaedro achaflanado
Icosaedro achaflanado(Con todas las aristas de igual longitud)Notación de ConwaycI= t3daICaras20 triángulos30 hexágonosAristas120 (2 tipos)Vértices72 (2 tipos)Configuración de vértices(24) 3.6.6(12) 6.6.6SimetríaIh, [5,3], (*532)Poliedro conjugadoTriaquis icosidodecaedroPropiedadesConvexo
En geometría, el icosaedro achaflanado es un poliedro convexo construido a partir del triacontaedro rómbico por truncado de los 20 vértices de orden 3. Las caras hexagonales pueden ser equiláteras pero no regulares.
También se le puede llamar triacontaedro rómbico tritruncado, en referencia a un truncamiento de los vértices de orden 3 del triacontaedro rómbico.
Teselados regulares achaflanados + Teselados regulares y cuasirregulares achaflanadosTeselado cuadrado, Q{4,4}Teselado triangular, Δ{3,6}Teselado hexagonal, H{6,3}Teselado rómbico, daHdr{6,3}cQcΔcHcdaH
Relación con los poliedros de Goldberg La operación de achaflanado aplicada en serie crea poliedros progresivamente más grandes con nuevas caras hexagonales que reemplazan las aristas de la figura original. El operador de achaflanado transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).
Un poliedro regular, GP(1,0), crea una secuencia de poliedros de Goldberg: GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0) ... GP(1,0)GP(2,0)GP(4,0)GP(8,0)GP(16,0)...GPIV{4+,3}CcCccCcccCGPV{5+,3}DcDccDcccDccccDGPVI{6+,3}HcHccHcccHccccH
El octaedro truncado o el icosaedro truncado, GP(1,1) crean una secuencia de Goldberg: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8).... GP(1,1)GP(2,2)GP(4,4)...GPIV{4+,3}tOctOcctOGPV{5+,3}tIctIcctIGPVI{6+,3}tHctHcctH
Un tetraquishexaedro o un pentaquisdodecaedro truncados, GP(3,0), crean una secuencia de Goldberg: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)... GP(3,0)GP(6,0)GP(12,0)...GPIV{4+,3}tkCctkCcctkCGPV{5+,3}tkDctkDcctkDGPVI{6+,3}tkHctkHcctkH
Politopos biselados y panales Al igual que la operación de expansión, el achaflanado se puede aplicar a cualquier dimensión. Para polígonos, triplica el número de vértices. Para policoros, se crean nuevas celdas alrededor de los bordes originales. Las celdas son prismas que contienen dos copias de la cara original, con pirámides aumentadas en los lados del prisma.
Véase también Notación de poliedros de Conway Sólido casi coincidente de Johnson Canteado (geometría)
Referencias
Bibliografía
Joseph D. Clinton, Conjetura del ángulo central igual de Clinton
Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenos y poliedros de coordinación versus incrustaciones de medio cubo, 1998 PDF (p. 72 Fig. 26. Tetraedro biselado) .
Enlaces externos Tetraedro achaflanado Sólidos biselados Truncación de vértices y bordes de los sólidos platónicos y de Arquímedes que conducen a poliedros transitivos de vértices Livio Zefiro generador poliédrico VRML (Notación de poliedros de Conway) Modelo VRML Cubo biselado 3.2.7. Numeración sistemática para (C80-Ih) [5,6] fullerene Fullereno C80 (Número 7 -Ih)
Cómo hacer un cubo biselado
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