+ Poliedros icosaédricos de Goldberg con pentágonos en rojoEquilátero y esférico

En matemáticas, y más específicamente en combinatoria poliédrica, un poliedro de Goldberg es un politopo convexo cuyas caras son hexágonos y pentágonos. Fueron descritos por primera vez en 1937 por Michael Goldberg (1902-1990). Están definidos por tres propiedades: cada cara es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada vértice y tienen simetría icosaédrica. No poseen necesariamente simetría especular; y por ejemplo y son quirales uno respecto al otro. Un poliedro de Goldberg es un poliedro conjugado de una esfera geodésica.

Una consecuencia de la característica de Euler es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente doce caras pentagonales. La simetría icosaédrica asegura que los pentágonos sean siempre regulares y que siempre haya 12 de ellos. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras planas equiláteras (pero no en general equiangulares).

Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el dodecaedro y el icosaedro truncado. Se pueden describir otras formas realizando el movimiento del caballo de ajedrez de un pentágono al siguiente: primero se deben dar en una dirección; luego se debe girar 60° a la izquierda; y finalmente de deben dar pasos. Tal poliedro se denota Un dodecaedro es y un icosaedro truncado es

Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con simetría tetraédrica y simetría octaédrica. Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones tienen subíndices de números romanos que indican el número de lados en las caras que no son hexagonales: y

Elementos El número de vértices, aristas y caras de GP(m,n) se puede calcular a partir de m y n, con T  = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn, dependiendo de uno de los tres sistemas de simetría.Clinton’s Equal Central Angle Conjecture, JOSEPH D. CLINTON El número de caras no hexagonales se puede determinar utilizando la característica de Euler, como se demuestra en el artículo correspondiente.

Simetría Icosaédrica Octaédrica TetraédricaBaseDodecaedroGPV(1,0)= {5+,3}1,0CuboGPIV(1,0)= {4+,3}1,0TetraedroGPIII(1,0)= {3+,3}1,0Imagen SímboloGPV(m,n)= {5+,3}m,nGPIV(m,n)= {4+,3}m,nGPIII(m,n)= {3+,3}m,n Vértices Aristas Caras Caras por tipo12 {5} y 10(T − 1) {6}6 {4} y 4(T − 1) {6}4 {3} y 2(T − 1) {6}

Construcción La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir utilizando la notación de poliedros de Conway a partir de semillas de (T)etraedro, (C)ubo y (D)odecaedro. El operador achaflanado, c, reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando GP(m,n) a GP(2m,2 n), con un multiplicador T de 4. El operador kis truncado, y = tk, genera GP(3,0), transformando GP(m, n) a GP(3m,3n), con un multiplicador T de 9.

Para formas de clase II, el operador dual kis, z = dk, transforma GP(a,0) en GP(a,a), con un multiplicador T de 3. Para formas de clase III, el operador girado, w, genera GP(2,1), con un multiplicador T de 7. Un generador de girado en sentido horario y antihorario, w = wrw genera GP(7,0 ) en la clase I. En general, un girado puede transformar un GP(a,b) en GP(a + 3b,2ab) para a > b y la misma dirección quiral. Si se invierten las direcciones quirales, GP(a,b) se convierte en GP(2a + 3b,a − 2b) si a ≥ 2b, y GP(3a + b,2b − a) si a < 2b.

Ejemplos + Poliedros de clase I Frecuencia(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)(6,0)(7,0)(8,0)(m,0)T1491625364964m2Icosaédrico (Goldberg)Dodecaedro regularDodecaedro achaflanadomásOctaédricoCuboCubo achaflanadomásTetraédricoTetraedroTetraedro achaflanadomás

+ Poliedros de clase II Frecuencia(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(m,m)T3122748751081471923m2Icosaédrico (Goldberg)Icosaedro truncadomásOctaédricoOctaedro truncadomásTetraédricoTetraedro truncadomás

+ Poliedros de clase III Frecuencia(1,2)(1,3)(2,3)(1,4)(2,4)(3,4)(5,1)(m,n)T7131921283731m2+mn+n2Icosaédrico (Goldberg)másOctaédricomásTetraédricomás

Véase también Cápside Esfera geodésica Fullereno Notación de poliedros de Conway Construcción de Goldberg-Coxeter

Referencias

Bibliografía

Joseph D. Clinton, Clinton’s Equal Central Angle Conjecture

Enlaces externos Icosaedro geodésico dual Variaciones de Goldberg: Nuevas formas para jaulas moleculares Los hexágonos planos y los pentágonos se unen en un nuevo giro sobre el viejo poliedro, por Dana Mackenzie , 14 de febrero de 2014