O teorema do número poligonal de Fermat diz que todo número natural é soma de, no máximo, n números poligonais. Todo número natural pode ser escrito como a soma de três ou menos números triangulares, ou quatro ou menos números quadrados, ou cinco ou menos números pentagonais, e assim sucessivamente. 17, por exemplo, pode ser escrito como: 17 = 10 + 6 + 1 (números triangulares) 17 = 16 + 1 (números quadrados) 17 = 12 + 5 (números pentagonais).
Um caso especial bem conhecido do teorema é o teorema dos quatro quadrados de Lagrange, que prova que todo número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados, por exemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.
Joseph Louis Lagrange demonstrou o caso quadrado em 1770 e Carl Friedrich Gauss demonstrou o caso triangular em 1796 e escreveu no seu caderno "ΕΥΡΗΚΑ! N = Δ + Δ + Δ", porém o teorema só foi provado de forma geral por Cauchy em 1813. Uma demonstração de Nathanson (1987) está baseada no seguinte lema dado por Cauchy:
Para números naturais ímpares e tais que e se pode encontrar números inteiros não negativos e tais que e
Ver também Teorema dos quatro quadrados Problema de Waring Conjectura dos números octaédricos de Pollock
Referências
Nathanson, M. B. "A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem." Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 99, No. 1, 22-24, (Jan. 1987).
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