A métrica de Gödel, também conhecida como solução de Gödel ou universo de Gödel, é uma solução exata, descoberta em 1949 por Kurt Gödel, das equações de campo de Einstein na qual o tensor de energia-momento contém dois termos: o primeiro representando a densidade de matéria de uma distribuição homogênea de partículas de poeira em rotação (turbilhonamento) (ver Solução de poeira), e o segundo associado a uma constante cosmológica negativa (ver Solução Lambdavacuum).
Esta solução possui muitas propriedades incomuns — em particular, a existência de curvas temporais fechadas que permitiriam a viagem no tempo num universo descrito pela solução. A sua definição é um tanto artificial, uma vez que o valor da constante cosmológica deve ser cuidadosamente escolhido para corresponder à densidade dos grãos de poeira, mas este espaço-tempo é um importante exemplo pedagógico.
Definição Como qualquer outro espaço-tempo lorentziano, a solução de Gödel representa o tensor métrico em termos de uma carta de coordenadas local. Pode ser mais fácil compreender o universo de Gödel usando o sistema de coordenadas cilíndricas (veja abaixo), mas este artigo utiliza a carta originalmente empregada por Gödel. Nesta carta, a métrica (ou, de modo equivalente, o elemento de linha) é
onde é uma constante real não nula que fornece a velocidade angular dos grãos de poeira circundantes em torno do eixo y, medida por um observador sem rotação situado sobre um dos grãos de poeira. Sem rotação significa que o observador não sente forças centrífugas, mas, neste sistema de coordenadas, ele giraria em torno de um eixo paralelo ao eixo y. Neste referencial em rotação, os grãos de poeira permanecem em valores constantes de x, y e z. A sua densidade neste diagrama de coordenadas aumenta com x, mas a sua densidade nos seus próprios referenciais é a mesma em toda parte.
Propriedades Para investigar as propriedades da solução de Gödel, pode-se adotar o campo de tétrades (dual à co-tétrade lida a partir da métrica dada acima),
Esta estrutura define uma família de observadores inerciais que estão comoventes com os grãos de poeira. O cálculo das derivadas de Fermi-Walker em relação a mostra que os referenciais espaciais estão a girar em torno de com a velocidade angular . Segue-se que o referencial inercial sem rotação comovente com as partículas de poeira é
Tensor de Einstein As componentes do tensor de Einstein (em relação a qualquer um dos referenciais acima) são
Aqui, o primeiro termo é característico de uma solução Lambdavacuum e o segundo termo é característico de um fluido perfeito sem pressão ou solução de poeira. A constante cosmológica é cuidadosamente escolhida para cancelar parcialmente a densidade de matéria da poeira.
Topologia O espaço-tempo de Gödel é um exemplo raro de solução regular (isenta de singularidades) das equações de campo de Einstein. A carta original de Gödel é geodesicamente completa e livre de singularidades. Trata-se, portanto, de uma carta global, e o espaço-tempo é homeomórfico a R4 e, por conseguinte, simplesmente conexo.
Invariantes de curvatura Em qualquer espaço-tempo lorentziano, o tensor de Riemann de quarta ordem é um operador multilinear no espaço quadridimensional de vetores tangentes (em algum evento), mas um operador linear no espaço hexadimensional de bivetores nesse evento. Por conseguinte, possui um polinômio característico, cujas raízes são os autovalores. No espaço-tempo gödeliano, esses autovalores são muito simples: autovalor triplo zero, autovalor duplo , autovalor simples .
Vetores de Killing Este espaço-tempo admite uma álgebra de Lie pentadimensional de vetores de Killing, que pode ser gerada pela translação temporal , por duas translações espaciais , além de mais dois campos vetoriais de Killing:
e
O grupo de isometrias atua transitivamente (uma vez que podemos transladar em , e com o quarto vetor podemos nos mover ao longo de ), de modo que o espaço-tempo é homogêneo. No entanto, não é isotrópico, como se pode observar.
Os geradores fornecidos mostram que as fatias admitem um grupo de transformações tridimensional, abeliano e transitivo, de modo que um quociente da solução pode ser reinterpretado como uma solução estacionária cilindricamente simétrica. As fatias permitem uma ação de SL(2,R), e as fatias admitem uma estrutura de Bianchi III (cf. o quarto campo vetorial de Killing). Isso pode ser reformulado afirmando que o grupo de simetrias contém subgrupos tridimensionais com exemplos dos tipos I, III e VIII de Bianchi. Quatro dos cinco vetores de Killing, bem como o tensor de curvatura, não dependem da coordenada y. A solução de Gödel é o produto cartesiano de um fator R com uma variedade lorentziana tridimensional (assinatura −++).
Pode-se demonstrar que, a menos de isometria local, a solução de Gödel é a única solução de fluido perfeito das equações de campo de Einstein que admite uma álgebra de Lie pentadimensional de vetores de Killing.
Tipo de Petrov e decomposição de Bel O tensor de Weyl da solução de Gödel tem tipo D de Petrov. Isso significa que, para um observador apropriadamente escolhido, as forças de maré são muito próximas daquelas que seriam sentidas a partir de uma massa pontual na gravitação newtoniana.
Para estudar as forças de maré mais detalhadamente, a decomposição de Bel do tensor de Riemann pode ser calculada em três partes: o tensor de maré ou eletrogravítico (que representa as forças de maré), o tensor magnetogravítico (que representa forças spin-spin sobre partículas de teste com rotação própria e outros efeitos gravitacionais análogos ao magnetismo) e o tensor topogravítico (que representa as curvaturas seccionais espaciais).
Observadores comoventes com as partículas de poeira observariam que o tensor de maré (em relação a , cujas componentes são avaliadas no nosso referencial) tem a forma
Isto é, medem uma tensão de maré isotrópica ortogonal à direção distinguida .
O tensor gravitomagnético anula-se identicamente
Isto é um artefato das simetrias invulgares deste espaço-tempo e implica que a suposta rotação da poeira não possui os efeitos gravitomagnéticos habitualmente associados ao campo gravitacional produzido por matéria em rotação.
Os principais invariantes de Lorentz do tensor de Riemann são
A anulação do segundo invariante significa que certos observadores não medem gravitomagnetismo algum, o que é consistente com o que se acabou de afirmar. O facto de o primeiro invariante (o invariante de Kretschmann) ser constante reflete a homogeneidade do espaço-tempo de Gödel.
Rotação rígida Os campos de referenciais dados acima são ambos inerciais, , mas o vetor de vorticidade da congruência geodésica de tipo tempo definida pelos vetores unitários de tipo tempo é
Isto significa que as linhas de universo de partículas de poeira vizinhas estão a enrolar-se/entrelaçar-se umas em torno das outras. Além disso, o tensor de cisalhamento da congruência anula-se, de modo que as partículas de poeira exibem rotação rígida.
Efeitos ópticos Se o cone de luz passado de um determinado observador for estudado, descobre-se que as geodésicas nulas que se movem ortogonalmente a espiralam para dentro em direção ao observador, de modo que, se alguém olhar radialmente, verá os outros grãos de poeira em posições progressivamente defasadas no tempo. No entanto, a solução é estacionária, pelo que pode parecer que um observador situado num grão de poeira não verá os outros grãos a rodar em torno de si mesmo. Todavia, recorde-se que, enquanto o primeiro referencial fornecido acima (o ) parece estático na carta, as derivadas de Fermi-Walker mostram que ele está a girar em relação a giroscópios. O segundo referencial (o ) parece estar a girar na carta, mas é giroestabilizado, e um observador inercial sem rotação situado num grão de poeira verá, de facto, os outros grãos de poeira a girar no sentido horário com velocidade angular em torno do seu eixo de simetria. Verifica-se que, além disso, as imagens ópticas sofrem dilatação e cisalhamento na direção de rotação.
Se um observador inercial sem rotação olhar ao longo do seu eixo de simetria, verá os seus pares inerciais coaxiais sem rotação aparentemente sem rotação em relação a si mesmo, como seria de esperar.
Configuração do futuro absoluto De acordo com Hawking e Ellis, outra característica notável deste espaço-tempo é o facto de que, se a coordenada inessencial y for suprimida, a luz emitida a partir de um evento na linha de universo de uma determinada partícula de poeira espirala para fora, forma uma cúspide circular, depois espirala para dentro e reconverge num evento subsequente na linha de universo da partícula de poeira original. Isso significa que observadores que olham ortogonalmente à direção podem enxergar apenas até uma distância finita e também veem a si mesmos num instante anterior.
A cúspide é uma curva nula fechada não geodésica. (Consulte a discussão mais detalhada abaixo usando uma carta de coordenadas alternativa.)
Curvas temporais fechadas Num espaço-tempo plano, um círculo traçado (ortogonalmente) em torno de um eixo de tipo tempo seria, ele próprio, um laço de tipo espaço. Isso também é verdade no espaço-tempo de Gödel para círculos suficientemente pequenos, mas se aumentarmos o seu tamanho, eles passarão para referenciais mais distantes, que estão torcidos em relação aos mais próximos. Essa torção acaba por converter a direção do laço (originalmente de tipo espaço) para o interior do cone de luz, de modo que os laços maiores se tornam curvas temporais fechadas (CTCs). Dado que o espaço-tempo de Gödel é homogêneo, isso significa que existem CTCs passando por cada evento nele contido. Essa anomalia causal parece ter sido considerada o objetivo central do modelo pelo próprio Gödel, que aparentemente se esforçava por provar que as equações do espaço-tempo de Einstein não são compatíveis com o que intuitivamente compreendemos como tempo (isto é, que ele passa e que o passado já não existe, posição que os filósofos denominam presentismo, ao passo que Gödel parecia argumentar a favor de algo mais próximo da filosofia do eternalismo).
Einstein tinha conhecimento da solução de Gödel (sendo ambos amigos íntimos) e comentou em Albert Einstein: Philosopher-Scientist que, se existe uma série de eventos causalmente conectados na qual a série é fechada em si mesma (em outras palavras, uma curva temporal fechada), então isso sugere que não há uma forma física satisfatória de definir se um dado evento na série ocorreu antes ou depois de outro evento na mesma série: Nesse caso, a distinção antes–depois é abandonada para pontos do universo que se situam muito afastados em sentido cosmológico, surgindo aqueles paradoxos, concernentes à direção da conexão causal, dos quais o Sr. Gödel falou.
Tais soluções cosmológicas das equações da gravitação (com constante A não nula) foram descobertas pelo Sr. Gödel. Será interessante ponderar se estas não devem ser excluídas com base em fundamentos físicos.
Não globalmente hiperbólico Se o espaço-tempo de Gödel admitisse qualquer hiperfatia temporal sem bordo (por exemplo, uma superfície de Cauchy), qualquer uma dessas CTCs teria de a intersectar um número ímpar de vezes, contradizendo o facto de que o espaço-tempo é simplesmente conexo. Portanto, este espaço-tempo não é globalmente hiperbólico.
Uma carta cilíndrica Nesta seção, introduzimos outra carta de coordenadas para a solução de Gödel, na qual algumas das características mencionadas acima são mais fáceis de visualizar.
Dedução Gödel não explicou como encontrou a sua solução, mas existem muitas deduções possíveis. Esboçaremos uma aqui e, simultaneamente, verificaremos algumas das afirmações feitas acima.
Comece com um referencial simples numa carta de tipo cilíndrico, apresentando duas funções indeterminadas da coordenada radial: