Na matemática, a teoria de Hodge p-ádica é uma teoria que fornece uma maneira de classificar e estudar representações de Galois p-ádicas de corpos locais de característica 0Neste artigo, um corpo local é um corpo de valorização discreta completo cujo corpo residual é perfeito. com característica residual p (como os números p-ádicos Qp). A teoria teve início nos estudos de Jean-Pierre Serre e John Tate sobre módulos de Tate de variedades abelianas e na noção de representação de Hodge–Tate. As representações de Hodge–Tate estão relacionadas a certas decomposições de teorias de coomologia p-ádicas análogas à decomposição de Hodge, daí o nome teoria de Hodge p-ádica. Desenvolvimentos posteriores foram inspirados por propriedades de representações de Galois p-ádicas decorrentes da coomologia étale de variedades. Jean-Marc Fontaine introduziu muitos dos conceitos fundamentais desse campo.

Classificação geral de representações p-ádicas Seja um corpo local com corpo residual de característica . Neste artigo, uma representação -ádica de (ou de , o grupo de Galois absoluto de ) será uma representação contínua , onde é um espaço vetorial de dimensão finita sobre . A coleção de todas as representações -ádicas de forma uma categoria abeliana denotada por neste artigo. A teoria de Hodge -ádica estabelece subcoleções de representações -ádicas com base em seu grau de regularidade e fornece funtores fiéis para categorias de objetos da álgebra linear mais acessíveis ao estudo. A classificação fundamental é expressa por:

onde cada classe é uma subcategoria plena propriamente contida na seguinte. Em ordem, estas são as categorias das representações cristalinas, representações semiestáveis, representações de de Rham, representações de Hodge–Tate e a totalidade das representações p-ádicas. Além disso, outras duas categorias de representações podem ser introduzidas: as representações potencialmente cristalinas e as representações potencialmente semiestáveis . Esta última contém estritamente a primeira, que, por sua vez, geralmente contém estritamente ; adicionalmente, geralmente contém estritamente e está contida em (com igualdade quando o corpo residual de é finito, resultado conhecido como o teorema da monodromia p-ádica).

Anéis de períodos e isomorfismos de comparação na geometria aritmética A estratégia geral da teoria de Hodge p-ádica, introduzida por Fontaine, consiste em construir certos anéis denominados anéis de períodosEsses anéis dependem do corpo local K em questão, mas essa dependência é frequentemente omitida da notação. tais como BdR, Bst, Bcris e BHT, os quais possuem simultaneamente uma ação de GK e estruturas algébricas lineares adicionais, permitindo considerar os chamados módulos de Dieudonné:

(onde B é um anel de períodos e V é uma representação p-ádica), os quais já não possuem uma ação de GK, mas são dotados de estruturas algébricas lineares herdadas do anel B. Em particular, são espaços vetoriais sobre o corpo fixo .Para B = BHT, BdR, Bst e Bcris, é K, K, K0 e K0, respectivamente, onde K0 = Frac(W(k)), o corpo de frações dos vetores de Witt de k. Esta construção enquadra-se no formalismo das representações B-admissíveis introduzido por Fontaine. Para um anel de períodos B∗ (onde ∗ = HT, dR, st, cris), a categoria de representações p-ádicas Rep∗(K) mencionada acima é a categoria daquelas representações que são B∗-admissíveis, isto é, as representações p-ádicas V para as quais:

ou, equivalentemente, para as quais o morfismo de comparação

é um isomorfismo.

Esse formalismo (e a denominação anel de períodos) originou-se a partir de resultados e conjeturas fundamentais relativos a isomorfismos de comparação na geometria aritmética e na geometria complexa: Se X é um esquema próprio e suave sobre os números complexos C, existe um isomorfismo clássico de comparação entre a coomologia de de Rham algébrica de X sobre C e a coomologia singular de X(C):

Esse isomorfismo pode ser obtido por meio de um emparelhamento definido pela integração de formas diferenciais na coomologia de de Rham algébrica sobre ciclos na coomologia singular. O resultado de tal integração é denominado um período e é, em geral, um número complexo. Isso justifica a necessidade de estender os escalares da coomologia singular para C. Sob essa perspectiva, diz-se que C contém todos os períodos necessários para comparar a coomologia de de Rham algébrica com a coomologia singular, podendo ser considerado um anel de períodos nesse contexto. Em meados da década de 1960, Tate conjeturouVer que um isomorfismo análogo deveria ser válido para esquemas próprios e suaves X sobre K entre a coomologia de de Rham algébrica e a coomologia étale p-ádica (a conjetura de Hodge–Tate, também denominada CHT). Especificamente, seja CK o completamento de um fecho algébrico de K, seja CK(i) a notação para CK onde a ação de GK se dá via g·z = χ(g)ig·z (onde χ é o caráter ciclotômico p-ádico e i é um número inteiro), e seja . Então existe um isomorfismo funtorial:

de espaços vetoriais graduados com ação de GK (a coomologia de de Rham é dotada da filtração de Hodge, e é o seu graduado associado). Essa conjetura foi demonstrada por Gerd Faltings no final da década de 1980, após resultados parciais estabelecidos por diversos outros matemáticos (incluindo o próprio Tate). Para uma variedade abeliana X com boa redução sobre um corpo p-ádico K, Alexander Grothendieck reformulou um teorema de Tate demonstrando que a coomologia cristalina H1(X/W(k)) ⊗ Qp da fibra especial (munida do endomorfismo de Frobenius sobre esse grupo e da filtração de Hodge sobre o produto tensorial com K) e a coomologia étale p-ádica H1(X,Qp) (com a ação do grupo de Galois de K) continham a mesma informação. Ambas são equivalentes ao grupo p-divisível associado a X, a menos de isogenia. Grothendieck conjeturou que deveria haver uma maneira direta de transitar entre a coomologia étale p-ádica e a coomologia cristalina (em ambos os sentidos) para todas as variedades com boa redução sobre corpos p-ádicos. Essa relação hipotética ficou conhecida como o funtor misterioso.

Para estender a conjetura de Hodge–Tate a uma relação que envolvesse diretamente a coomologia de de Rham (e não apenas o seu graduado associado), Fontaine construiu um anel filtrado BdR cujo graduado associado é BHT e conjeturou, Conjectura A.6 o seguinte isomorfismo (denominado CdR) para qualquer esquema próprio e suave X sobre K:

como espaços vetoriais filtrados munidos de ação de GK. Dessa forma, pode-se afirmar que BdR contém todos os períodos (p-ádicos) necessários para comparar a coomologia de de Rham algébrica com a coomologia étale p-ádica, de maneira análoga ao papel desempenhado pelos números complexos na comparação com a coomologia singular. Daí decorre a denominação de BdR como anel de períodos p-ádicos.

Similarmente, para formular uma conjetura que explicasse o funtor misterioso de Grothendieck, Fontaine introduziu um anel Bcris munido de ação de GK, de um operador de "Frobenius" φ e de uma filtração após extensão de escalares de K0 para K. Ele conjeturou, Conjectura A.11 o seguinte isomorfismo (denominado Ccris) para qualquer esquema próprio e suave X sobre K com boa redução:

como espaços vetoriais com ação de φ, ação de GK e filtração após extensão de escalares para K (onde recebe sua estrutura de espaço vetorial sobre K0 com ação de φ através de sua comparação com a coomologia cristalina). Ambas as conjeturas CdR e Ccris foram demonstradas por Faltings.

Ao comparar essas duas conjeturas com a noção de representações B∗-admissíveis exposta acima, constata-se que, se X é um esquema próprio e suave sobre K (com boa redução) e V é a representação de Galois p-ádica obtida como seu i-ésimo grupo de coomologia étale p-ádica, então:

Em outros termos, os módulos de Dieudonné desempenham o papel de recuperar as demais coomologias associadas a V.

No final da década de 1980, Fontaine e Uwe Jannsen formularam outra conjetura de isomorfismo de comparação, Cst, contemplando casos em que X possui redução semiestável. Fontaine construiu, Exposé II, seção 3 um anel Bst dotado de ação de GK, de um operador de "Frobenius" φ, de uma filtração após extensão de escalares de K0 para K (fixada uma extensão do logaritmo p-ádico) e de um "operador de monodromia" N. Quando X possui redução semiestável, a coomologia de de Rham pode ser equipada com a ação de φ e com um operador de monodromia por meio de sua comparação com a coomologia log-cristalina introduzida por Osamu Hyodo. A conjetura afirma então que:

como espaços vetoriais dotados de ação de φ, ação de GK, filtração após extensão de escalares para K e operador de monodromia N. Essa conjetura foi demonstrada no final da década de 1990 por Takeshi Tsuji.

Ver também Teoria de Hodge Teoria de Arakelov Teoria de Hodge-Arakelov Teoria de Teichmüller p-ádica

Referências

Bibliografia

Categoria:Teoria algébrica dos números Categoria:Teoria de Galois Categoria:Teoria de representação de grupos Categoria:Teoria de Hodge Categoria:Geometria aritmética Categoria:Números p-ádicos