Na matemática, mais especificamente nos campos dos sistemas dinâmicos e da topologia geométrica, uma aplicação de Anosov em uma variedade M é um tipo específico de mapeamento de M em si mesma com direções locais de "expansão" e "contração" nitidamente demarcadas. Os sistemas de Anosov constituem um caso especial dos sistemas de Axioma A.

Os difeomorfismos de Anosov foram introduzidos por Dmitri Viktorovich Anosov, que provou que o comportamento dessas transformações é, em sentido apropriado, genérico (quando elas de fato existem).Dmitri V. Anosov, Geodesic flows on closed Riemannian manifolds with negative curvature, (1967) Proc. Steklov Inst. Mathematics. 90.

Visão geral Três definições intimamente relacionadas devem ser distinguidas: Se uma aplicação diferenciável f em M possui uma estrutura hiperbólica no fibrado tangente, ela é denominada uma aplicação de Anosov. Exemplos incluem a transformação de Bernoulli e o mapa do gato de Arnold. Se a aplicação for um difeomorfismo, é denominada um difeomorfismo de Anosov. Se um fluxo em uma variedade decompõe o fibrado tangente em três subfibrados invariantes — sendo um subfibrado exponencialmente contraativo, um exponencialmente expansivo e um terceiro subfibrado unidimensional não expansivo e não contraativo (gerado pela direção do fluxo) —, o fluxo é denominado um fluxo de Anosov.

Um exemplo clássico de difeomorfismo de Anosov é o mapa do gato de Arnold.

Anosov provou que os difeomorfismos de Anosov são estruturalmente estáveis e formam um subconjunto aberto de mapeamentos (fluxos) com a topologia C1.

Nem toda variedade admite um difeomorfismo de Anosov; por exemplo, não existem tais difeomorfismos na esfera. Os exemplos mais simples de variedades compactas que os admitem são os toros: eles admitem os chamados difeomorfismos lineares de Anosov, que são isomorfismos lineares sem nenhum autovalor de módulo 1. Provou-se que qualquer outro difeomorfismo de Anosov em um toro é topologicamente conjugado a um difeomorfismo dessa natureza.

O problema de classificar as variedades que admitem difeomorfismos de Anosov revelou-se extremamente complexo e permanece sem resposta completa para dimensões superiores a 3. Os únicos exemplos conhecidos são as infranilvariedades, e conjectura-se que sejam os únicos possíveis.

Uma condição suficiente para a transitividade é que todos os pontos sejam não errantes: . Isso, por sua vez, é válido para difeomorfismos de Anosov de codimensão um (ou seja, aqueles em que o subfibrado contraativo ou o expansivo é unidimensional) e para fluxos de Anosov de codimensão um em variedades de dimensão superior a três, bem como para fluxos de Anosov cujo espectro de Mather está contido em dois anéis suficientemente finos. Não se sabe se todos os difeomorfismos de Anosov são transitivos (exceto em infranilvariedades), e fluxos de Anosov não precisam ser necessariamente topologicamente transitivos.

Além disso, não se sabe se todo difeomorfismo de Anosov que preserva volume de classe é ergódico. Anosov provou a ergodicidade sob a hipótese de classe , resultado que também se aplica a difeomorfismos de Anosov que preservam volume de classe .

Para um difeomorfismo de Anosov transitivo de classe , existe uma única medida SRB (iniciais de Sinai, Ruelle e Bowen) suportada em tal que sua bacia de atração possui volume total, onde:

Fluxo de Anosov em (fibrados tangentes de) superfícies de Riemann Como exemplo, esta seção desenvolve o caso do fluxo de Anosov no fibrado tangente de uma superfície de Riemann de curvatura negativa. Esse fluxo pode ser compreendido em termos do fluxo no fibrado tangente do modelo do semiplano de Poincaré da geometria hiperbólica. Superfícies de Riemann de curvatura negativa podem ser definidas como modelos fuchsianos, isto é, como os quocientes do semiplano superior por um grupo fuchsiano. Seja H o semiplano superior; seja Γ um grupo fuchsiano; seja M = H/Γ uma superfície de Riemann de curvatura negativa obtida como o quociente de H pela ação do grupo Γ; seja o fibrado tangente de vetores unitários na variedade M, e seja o fibrado tangente de vetores unitários em H. Vale notar que um fibrado de vetores unitários sobre uma superfície é o fibrado principal de um fibrado de linha complexo.

Campos vetoriais de Lie Observa-se inicialmente que é isomorfo ao grupo de Lie PSL(2, R). Esse grupo é o grupo de isometrias que preservam a orientação do semiplano superior. A álgebra de Lie de PSL(2, R) é sl(2, R), sendo gerada pelas matrizes:

com o colchete de Lie:

As aplicações exponenciais:

definem fluxos invariantes à direita na variedade , e analogamente em . Definindo e , esses fluxos determinam campos de vetores em P e Q cujos vetores residem em TP e TQ. Estes constituem os campos vetoriais de Lie padrão sobre a variedade de um grupo de Lie.

Fluxo de Anosov A relação com o fluxo de Anosov decorre do fato de que é o fluxo geodésico em P e Q. Sendo os campos vetoriais de Lie (por definição) invariantes à esquerda sob a ação de um elemento do grupo, decorre que esses campos são invariantes à esquerda sob os elementos específicos do fluxo geodésico. Em outras palavras, os espaços TP e TQ são decompostos em três subespaços unidimensionais (subfibrados), cada um dos quais é invariante sob o fluxo geodésico. O passo final reside em constatar que os campos de vetores em um subfibrado expandem-se (exponencialmente), os de outro permanecem inalterados e os de um terceiro contraem-se (também exponencialmente).

Mais precisamente, o fibrado tangente TQ pode ser expresso como a soma direta:

ou, em um ponto , como a soma direta:

correspondente aos geradores da álgebra de Lie Y, J e X, respectivamente, transportados pela ação à esquerda do elemento do grupo g, da origem e para o ponto q. Ou seja, tem-se e . Esses espaços são subfibrados preservados (invariantes) sob a ação do fluxo geodésico; isto é, sob a ação dos elementos do grupo .

Para comparar os comprimentos dos vetores em em diferentes pontos q, necessita-se de uma métrica. Qualquer produto interno em estende-se a uma métrica riemanniana invariante à esquerda em P, e logo a uma métrica riemanniana em Q. O comprimento de um vetor expande-se exponencialmente como sob a ação de . O comprimento de um vetor contrai-se exponencialmente como sob a ação de . Os vetores em permanecem inalterados. Isso pode ser verificado analisando-se a comutação dos elementos do grupo. O fluxo geodésico é invariante:

enquanto os outros dois contraem-se e expandem-se:

e

em que um vetor tangente em é dado pela derivada, com respeito a t, da curva no ponto .

Interpretação geométrica do fluxo de Anosov Ao atuar no ponto do semiplano superior, corresponde a uma geodésica no semiplano superior que passa pelo ponto . A ação corresponde à transformação de Möbius padrão de SL(2, R) no semiplano superior, de modo que:

Uma geodésica genérica é dada por:

com a, b, c e d reais, satisfazendo . As curvas e são denominadas horociclos. Os horociclos correspondem ao movimento dos vetores normais de uma horoesfera no semiplano superior.

Ver também Fluxo ergódico Sistema de Morse-Smale Aplicação pseudo-Anosov

Referências

Bibliografia

Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), Capítulo 3 em Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane e Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991).

Toshikazu Sunada, Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.

Categoria:Difeomorfismos Categoria:Sistemas dinâmicos Categoria:Variedades hiperbólicas