thumb|right|James Clerk Maxwell Na primeira metade do século XIX, a compreensão do eletromagnetismo havia avançado por meio de inúmeros experimentos e trabalhos teóricos. Na década de 1780, Charles-Augustin de Coulomb estabeleceu sua lei da eletrostática. Em 1825, André-Marie Ampère publicou sua lei da força de Ampère. Em 1831, Michael Faraday descobriu a indução eletromagnética por meio de experimentos e propôs o conceito de linhas de força para descrevê-la. Em 1834, Heinrich Lenz resolveu a questão do sentido da indução (lei de Lenz), e Franz Ernst Neumann formulou a equação para calcular a força induzida pela variação do fluxo magnético. No entanto, esses resultados experimentais e regras não estavam integrados de forma sistemática e por vezes mostravam-se confusos para os cientistas da época. Fazia-se necessária uma síntese abrangente dos princípios da eletrodinâmica.
Esse trabalho foi realizado pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell por meio de uma série de artigos publicados entre as décadas de 1850 e 1870. Na década de 1850, Maxwell trabalhava na Universidade de Cambridge, onde ficou impressionado com a ideia das linhas de força de Faraday. Em 1856, publicou seu primeiro artigo sobre o tema: On Faraday's Lines of Force. Ele procurou utilizar a analogia do fluxo de um fluido incompressível para modelar as linhas de força magnética. Mais tarde, transferiu-se para o King's College de Londres, onde passou a manter contato regular com Faraday, tornando-se amigos ao longo da vida. Entre 1861 e 1862, Maxwell publicou uma série de quatro artigos sob o título de On Physical Lines of Force. Nesses artigos, ele empregou modelos mecânicos, como tubos de vórtices em rotação, para descrever o campo eletromagnético. Também modelou o vácuo como uma espécie de meio elástico isolante para dar conta das tensões das linhas de força magnéticas sugeridas por Faraday. Esses trabalhos estabeleceram a base para a formulação das equações de Maxwell. Além disso, o artigo de 1862 já deduzia a velocidade da luz a partir da expressão da velocidade de uma onda eletromagnética em relação às constantes do vácuo. A formulação final foi publicada em 1865 no artigo A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, no qual a teoria foi apresentada em linguagem puramente matemática. Em 1873, Maxwell publicou o tratado A Treatise on Electricity and Magnetism reunindo seus estudos. Em síntese, as equações de Maxwell unificaram as teorias da óptica e do eletromagnetismo, configurando uma das grandes unificações da física.
Maxwell concebeu um modelo mecânico simplificado de volante para ilustrar a indução, e Ludwig Boltzmann desenvolveu um aparato mecânico elaborado ("Bicykel") baseado no modelo de Maxwell para demonstrações didáticas em suas aulas. As ilustrações constam ao final do livro de Boltzmann de 1891.
thumb|Modelo de engrenagem diferencial de Maxwell para a indução. Os volantes P e Q representam os circuitos primário e secundário. O aumento do momento de inércia do volante central ilustra o efeito da inserção de um núcleo de ferro entre os circuitos.
Posteriormente, Oliver Heaviside analisou o A Treatise on Electricity and Magnetism de Maxwell e utilizou o cálculo vetorial para condensar o conjunto de mais de vinte equações nas quatro equações canônicas empregadas pela física moderna. As equações de Maxwell também serviram de inspiração fundamental para Albert Einstein no desenvolvimento da teoria da relatividade restrita.
A comprovação experimental das equações foi obtida por Heinrich Hertz em uma série de experimentos na década de 1880 e 1890, consolidando a aceitação definitiva da teoria maxwelliana no meio acadêmico.
Relação entre eletricidade, magnetismo e a velocidade da luz A relação fundamental entre eletricidade, magnetismo e a velocidade da luz pode ser expressa modernamente pela equação:
O lado esquerdo representa a velocidade da luz no vácuo e o lado direito é uma grandeza composta por constantes fundamentais associadas à eletrostática e à magnetostática. Embora o termo da direita possua dimensão de velocidade, ele pode ser obtido inteiramente a partir de medições de forças elétricas e magnéticas estáticas, sem envolver corpos em movimento físico. O estabelecimento dessa relação forneceu a prova de que a luz é um fenômeno de natureza eletromagnética.
Essa descoberta teve início em 1855, quando Wilhelm Eduard Weber e Rudolf Kohlrausch identificaram que a razão entre a unidade eletromagnética absoluta de carga e a unidade eletrostática absoluta de carga (na terminologia moderna, o valor ) possuía dimensão de velocidade. Eles mediram experimentalmente essa razão por meio da carga e descarga de uma garrafa de Leiden, aferindo a força magnética gerada pela corrente de descarga, obtendo o valor de , valor notavelmente próximo à velocidade da luz obtida experimentalmente por Hippolyte Fizeau em 1848 () e por Léon Foucault em 1850 (). No entanto, Weber e Kohlrausch não traçaram a conexão conceitual com a luz. No final de 1861, enquanto redigia a Parte III de On Physical Lines of Force, Maxwell consultou os dados de Weber e Kohlrausch e converteu-os para sua formulação teórica, concluindo explicitamente que a luz é uma forma de radiação eletromagnética.
O termo equações de Maxwell As quatro equações modernas de Maxwell aparecem dispersas ao longo de seu artigo de 1861, deduzidas teoricamente por meio do modelo de vórtices moleculares das "linhas de força" de Michael Faraday e calibradas com os dados experimentais de Weber e Kohlrausch. Contudo, foi apenas a partir de 1884 que Oliver Heaviside, em paralelo aos trabalhos de Josiah Willard Gibbs e Heinrich Hertz, agrupou as vinte equações originais no conjunto de quatro equações vetoriais. Esse conjunto de quatro relações foi denominado de início como equações de Hertz–Heaviside ou Maxwell–Hertz, fixando-se universalmente na posteridade sob o nome de equações de Maxwell. As equações formuladas por Heaviside ensinadas nos livros didáticos não são formalmente idênticas às equações originais de Maxwell; estas últimas, ao manterem potenciais, adaptam-se de forma mais direta à formulação da física quântica.
Essa nuance assemelha-se à atribuição da segunda lei do movimento de Newton: enquanto os manuais costumam apresentar a fórmula , Newton formulou originalmente sua lei como a taxa temporal de variação do momento linear, , relação que se mantém válida sem alterações na relatividade restrita.
A contribuição de Maxwell para a formulação dessas leis reside na modificação introduzida na lei de Ampère em seu artigo de 1861, na qual adicionou o termo da corrente de deslocamento. Isso lhe permitiu deduzir a equação da onda eletromagnética em seu artigo de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, demonstrando que a luz é uma onda eletromagnética, fato comprovado experimentalmente por Heinrich Hertz em 1887. O físico Richard Feynman avaliou a relevância dessa unificação nos seguintes termos: "De uma perspectiva de longo alcance da história da humanidade — vista, digamos, daqui a dez mil anos —, não restam dúvidas de que o evento mais significativo do século XIX será considerado a descoberta das leis da eletrodinâmica por Maxwell. A Guerra Civil Americana empalidecerá em insignificância provinciana quando comparada a esse evento científico da mesma década."Crease, Robert (2008). The Great Equations: Breakthroughs in Science from Pythagoras to Heisenberg, p. 133.
O conceito de campo físico fora introduzido por Faraday. Sobre essa transição conceitual, Albert Einstein escreveu:
Heaviside trabalhou para eliminar o uso direto dos potenciais (potencial elétrico e potencial vetor magnético), que Maxwell considerava conceitos centrais em sua teoria. A partir de 1884, compreendeu-se que os potenciais também se propagam à velocidade da luz, afastando a noção de ação instantânea à distância.
On Physical Lines of Force
As quatro equações empregadas na física moderna apareceram de forma dispersa no artigo de 1861 de Maxwell, On Physical Lines of Force:
A equação (56) do artigo corresponde à lei de Gauss para o magnetismo, ; A equação (112) corresponde à lei de Ampère modificada com a adição da corrente de deslocamento. Esse acréscimo permitiu deduzir a equação da onda eletromagnética em 1865, evidenciando a natureza ondulatória da luz; A equação (115) expressa a lei de Gauss para a eletrostática; A equação (54) expressa o que Heaviside denominou 'lei de Faraday', que trata da indução eletromagnética em meios estacionários. O efeito associado ao movimento relativo condutor-campo, , foi tratado na equação (77), que corresponde modernamente à formulação da força de Lorentz, .
A distinção entre os vetores (densidade de fluxo magnético) e (campo magnetizante) remonta ao artigo de 1855, On Faraday's Lines of Force.
right|thumb|300px|Esquema do modelo de vórtices moleculares de Maxwell. Para um campo magnético uniforme, as linhas de campo apontam para fora da tela (pontos pretos). Os vórtices hexagonais giram no sentido anti-horário. Os pequenos círculos verdes representam partículas intermediárias que giram no sentido horário.
Esse modelo mecânico foi detalhado no artigo de 1861 por meio da hipótese dos vórtices moleculares: representava a vorticidade pura (rotação), enquanto correspondia a uma vorticidade ponderada pela densidade do meio etéreo. Maxwell considerava a permeabilidade magnética uma medida dessa densidade de vórtices, estabelecendo a relação constitutiva: Corrente de indução magnética: , análoga rotacional da corrente elétrica linear; Corrente elétrica de convecção: , em que ρ é a densidade de carga elétrica.
A corrente elétrica linear envolve deslocamento translacional de carga; por analogia, a indução magnética envolvia rotação em torno dos eixos dos vórtices, sem translação linear ao longo da direção do vetor .
Dessas considerações decorre a correspondência em que está para assim como a densidade de corrente está para a densidade de carga , e, pelas equações de continuidade e de Gauss, o campo elétrico relaciona-se com o deslocamento elétrico .
thumb|Diagrama do modelo mecânico "Bicykel" de Boltzmann. thumb|Vista detalhada do aparato mecânico de Boltzmann para simular a indução eletromagnética.
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
Em 1865, Maxwell publicou A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, demonstrando formalmente que as ondas eletromagnéticas se propagam no espaço à velocidade da luz. Na Parte III desse trabalho ("Equações Gerais do Campo Eletromagnético"), Maxwell apresentou sua teoria estruturada em oito equações diferenciais fundamentais. Como seis dessas relações continham componentes tridimensionais explícitas em coordenadas cartesianas, o sistema totalizava vinte equações escalares com vinte incógnitas.
As oito equações originais de Maxwell, expressas na notação vetorial moderna de Heaviside, correspondem a:
[] Lei das correntes totais [] Equação da força magnética [] Lei circuital de Ampère [] Força eletromotriz (termo da Força de Lorentz) [] Equação de elasticidade elétrica [] Lei de Ohm [] Lei de Gauss [] Equação da continuidade ou
Notação é o campo magnético (denominado por Maxwell de intensidade magnética). é a densidade de corrente elétrica (sendo a corrente total, somada à corrente de deslocamento). é o campo de deslocamento elétrico (chamado por Maxwell de deslocamento elétrico). é a densidade de carga elétrica livre. é o potencial vetor magnético (chamado por Maxwell de impulso angular). é o campo elétrico (denominado no texto original como força eletromotriz). é o potencial elétrico escalar. é a condutividade elétrica (Maxwell empregava seu inverso, a resistência específica, atual resistividade).
A equação [], com o termo , incorpora a força exercida sobre cargas em movimento no campo magnético. Ao deduzir a equação da onda eletromagnética a partir do referencial em repouso, Maxwell suprimiu o termo dependente da velocidade.