miniatura|Hugh L. Montgomery no workshop: Teoria Analítica dos Números em Oberwolfach, 2008

A conjectura da correlação de pares de Montgomery é uma conjectura matemática que faz uma afirmação sobre a distribuição estatística dos zeros da função zeta de Riemann na linha crítica. Ela descreve a correlação de pares das distâncias normalizadas entre as partes imaginárias dos zeros e estabelece uma conexão surpreendente entre a teoria analítica dos números e a teoria das matrizes aleatórias, sendo, portanto, atribuída à teoria estocástica dos números.

A conjectura foi formulada em 1973 por Hugh Montgomery. Durante uma conversa com Freeman Dyson, descobriu-se que a função de correlação de pares encontrada por Montgomery coincidia com a função de correlação de pares dos autovalores de matrizes aleatórias hermitianas (mais precisamente, do ensemble unitário gaussiano). Trata-se do núcleo , que aparece ao considerar os autovalores de uma matriz hermitiana aleatória de dimensão infinita dentro da região "bulk" (ou seja, a região dos autovalores que não está na borda do espectro). A concordância entre a estatística dos zeros e a estatística dos autovalores de matrizes aleatórias hermitianas é considerada uma indicação de que os zeros da função zeta de Riemann podem ser descritos como o espectro de um operador autoadjunto, como sugere a conjectura de Hilbert-Pólya.

Conjectura da correlação de pares de Montgomery Assumindo a hipótese de Riemann (HR).

Sejam e dois zeros não triviais da função zeta de Riemann. denota a medida de Dirac. A conjectura afirma:

Formulação Seja fixo. Então, com ,

onde , contados com multiplicidade, ou seja, é definido como a cardinalidade desse conjunto.

A notação significa igualdade assintótica, ou seja, .

Formulação com zeros normalizados Seja fixo. Sejam as partes imaginárias escalonadas dos zeros, i.e. . Então (para os pares)

Relação com o núcleo seno e processos pontuais determinantes A expressão também aparece na teoria das matrizes aleatórias ao descrever o comportamento dos autovalores de matrizes hermitianas (como no GUE), que formam um processo pontual na reta real. No chamado limite bulk (após escalonamento adequado no interior do espectro), esse processo de autovalores converge, em muitos casos, para um processo pontual determinantal com núcleo de correlação

Um processo pontual determinantal é caracterizado pelo fato de que suas -funções de correlação de pontos são dadas pelos determinantes do núcleo:

a função de correlação de 2 pontos é dada por

Como , segue que

e devido à invariância translacional, esta função depende apenas da distância, de modo que se pode escrever

Esta é exatamente a expressão da conjectura da correlação de pares de Montgomery. Isso sugere que os zeros não triviais da função zeta de Riemann exibem uma estrutura estatística intimamente relacionada à distribuição de autovalores de operadores hermitianos ou de grandes matrizes hermitianas aleatórias.

Escalonamento assintótico dos zeros O fator provém da fórmula de Riemann-von Mangoldt para o número de zeros da função zeta:

Uma interpretação da expressão é que, até a altura , os zeros têm uma distância média assintótica de .

Dedução por Montgomery Montgomery estudou a função

para , onde e é uma função peso introduzida apenas por razões computacionais.

Aplicando a transformada inversa de Fourier a uma função teste , a expressão pode ser reescrita como

onde o fator contribui pouco e pode ser ignorado.

Teorema de Montgomery Montgomery provou, sob a HR, que para a função converge uniformemente:

Conjectura F(α) de Montgomery Com base em argumentos da teoria dos números, Montgomery formulou a conjectura F() de que, para ,

Esta conjectura também é chamada de Conjectura da correlação de pares forte.

Combinando todos os passos, pode-se deduzir a conjectura da correlação de pares.

O teorema de Montgomery tem consequências interessantes para os zeros da função zeta. Pode-se mostrar que pelo menos de todos os zeros críticos são simples:

Roger Heath-Brown e Hung M. Bui já aumentaram esse limite para .

Se a conjectura F() de Montgomery for verdadeira (assumindo a HR), então quase todos os zeros críticos são simples:

onde denota as multiplicidades dos zeros . Isso significa que existem zeros críticos que estão muito próximos uns dos outros:

Evidência Andrew Odlyzko calculou numericamente zeros não triviais da função zeta de Riemann, cuja distribuição se aproximou da função de correlação de pares do ensemble unitário gaussiano.

Conjectura de Hilbert-Pólya Em uma carta de Andrew Odlyzko a George Pólya, ele perguntou se haveria uma razão física para a hipótese de Riemann ser verdadeira. Pólya respondeu que a mesma pergunta lhe fora feita em Göttingen, entre 1912 e 1914, por Edmund Landau. Ele deu a Landau a resposta de que conjecturava que as partes imaginárias dos zeros da função zeta de Riemann em coincidiam com os autovalores de um operador autoadjunto.

Com a conjectura da correlação de pares de Montgomery, essa conjectura sobre os autovalores de uma matriz do ensemble unitário gaussiano ganhou uma base sólida para uma possível abordagem de solução da hipótese de Riemann.

Referências

Categoria: Teoria analítica dos números Categoria: Probabilidade Categoria: Conjecturas matemáticas