Os métodos de cálculo para a função zeta de Riemann são algoritmos que determinam valores numéricos para valores complexos com a maior precisão e rapidez possíveis. Ao longo de vários séculos, foram desenvolvidos procedimentos cada vez mais eficientes. Com o uso de computadores, especialmente a partir do início do século XXI, tornaram-se possíveis cálculos de grande escala.

A função zeta de Riemann

miniatura|Função zeta de Riemann no plano complexo, horizontal e vertical . Uma série de manchas brancas marca os zeros em Para uma representação completa da imagem de pré-visualização, clique aqui.

A função zeta de Riemann é uma função complexa que, para um número complexo com parte real , é definida pela soma infinita

Uma das propriedades mais importantes da função zeta de Riemann é sua conexão com os números primos. Ela estabelece uma relação entre a análise complexa e a teoria dos números (ver teoria analítica dos números) e é o ponto de partida da hipótese de Riemann. A seguinte expressão, que remonta a Leonhard Euler (1748), representa essa relação de forma concisa como

onde representa um produto infinito sobre todos os números primos . A expressão segue diretamente do teorema da unicidade da fatoração prima e da fórmula de soma para a série geométrica.

A função pode ser continuada analiticamente de forma única para todo o plano complexo – com exceção de – além da região de convergência original da fórmula de soma ou produto de Euler. Obtém-se uma função meromorfa: no ponto , ela possui um polo simples.

onde é a função gama e são os números de Bernoulli.Na definição dos números de Bernoulli aqui utilizada, tem-se:

A localização exata dos zeros da função zeta é de grande importância para a distribuição dos números primos. Através de métodos numéricos, a hipótese de Riemann pode ser, aproximadamente, suportada (mas não provada).

História

Os computadores poderosos que surgiram na segunda metade do século XX ofereceram novas possibilidades. Já em 1936, o matemático Edward Charles Titchmarsh, atuante em Oxford, calculou os primeiros 1041 zeros não triviais da função zeta com uma máquina originalmente construída para cálculos astronômicos.Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 5. Auflage. Beck, München 2006, ISBN 978-3-423-34299-5, p. 234 Em 1953, esses cálculos foram continuados por Alan Turing. Seu método é usado até hoje. Foi a primeira vez que um computador foi empregado.Turing, Alan M. (1953), Some calculations of the Riemann zeta-function, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 3: 99–117Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 5. Auflage. Beck, München 2006, ISBN 978-3-423-34299-5, p. 238 Na pesquisa sobre a função zeta de Riemann, os computadores foram usados principalmente para verificar a correção da hipótese de Riemann para o maior número possível de zeros. Embora todos os cálculos sejam procedimentos numéricos, eles mostram de forma exata, e não apenas aproximada, que os zeros investigados estão na linha crítica.Calculations relating to the zeros. Capítulo 15. In: Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta function.

miniatura|esquerda|Don Zagier: duvidou por muito tempo da correção da hipótese de Riemann. miniatura|Enrico Bombieri: sempre foi um defensor da correção da hipótese de Riemann. A correção da hipótese de Riemann foi questionada por muitos matemáticos, entre eles Don Zagier. Em uma conferência no início dos anos 70 em Bona, uma discussão entre ele e Enrico Bombieri acabou se intensificando e terminou em uma aposta: Zagier previu que deveria haver um zero da função zeta que não obedecesse à previsão de Riemann, enquanto Bombieri argumentava o contrário. Como ambos não esperavam testemunhar uma prova rigorosa em vida, eles concordaram que Zagier perderia se os primeiros 300 milhões de zeros satisfizessem a hipótese. Naquela época, já haviam sido localizados alguns milhares de zeros, mas havia razões teóricas para que eles também estivessem na linha crítica. À medida que o número aumentava, essas razões se tornavam mais fracas e, a partir de uma certa ordem de grandeza, havia até indícios de que a hipótese poderia estar errada. Segundo Zagier, seria "um milagre" se os primeiros 300 milhões ainda estivessem, sem exceção, na linha crítica. Com o tempo, o desempenho computacional dos computadores cresceu rapidamente. A ordem de grandeza do número de zeros da aposta logo se tornou alcançável. Em 1979, um grupo de Amsterdã em torno de Herman te Riele e Richard P. Brent já havia verificado 200 milhões de zeros – todos estavam na linha crítica. Zagier comentou sobre isso:

No entanto, Hendrik Lenstra, um bom amigo de Zagier, sabia da aposta e informou te Riele de que Zagier perderia se os primeiros 300 milhões de zeros estivessem na linha crítica. Assim, o grupo calculou até 300 milhões e Zagier teve que pagar a aposta. Com duas garrafas de vinho de Bordeaux, ele foi até Bombieri e enfatizou:

Até 2005, no âmbito do chamado Projeto ZetaGrid, os primeiros 10 trilhões de zeros foram verificados por meio de computação distribuída.Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» Todos estavam na linha crítica.

Métodos

Fórmula de soma de Euler-Maclaurin Um bom método, historicamente utilizado cedo, é a fórmula de soma "truncada", obtida com a ajuda da fórmula de Euler-Maclaurin. Em geral, primeiro se escolhe um número natural arbitrário para o qual também deve valer . Tem-se então:H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 114.

Para o termo de resto, valeR. Backlund: Uber die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Dissertation, Helsinki 1916.H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 115.

Na escolha (livre) de , deve-se também observar que o termo de resto só converge no semiplano . Portanto, deve-se sempre ter . Para valores crescentes de , o erro diminui rapidamente.H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 114.

Aplicando a equação funcional (um cálculo rápido da função gama e da função exponencial é fácil de implementar), pode-se assumir, sem perda de generalidade, . Aqui, a fórmula de soma é significativamente mais rápida. Uma desvantagem deste método, no entanto, é que ele perde eficiência para partes imaginárias crescentes.

A utilidade dessa aproximação é conhecida há mais tempo. Por exemplo, Leonhard Euler determinou o valor de com cerca de 20 casas decimais de precisão por volta de 1734, antes de resolver o problema de Basileia, que tratava do valor analiticamente "exato" de . Essa avaliação numérica foi para ele a confirmação prática da correção de seu valor exatamente determinado.Julian Havil: Gamma. Springer-Verlag, Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, p. 50.

Além disso, o matemático dinamarquês Jørgen Pedersen Gram encontrou, em 1903, valores numéricos dos primeiros 15 zeros não triviais, determinando os primeiros 10 zeros com seis casas decimais e os outros 5 com uma casa decimal cada.J. P. Gram: Sur les Zéros de la Fonction de Riemann. Acta Math. 27, 289–304 (1903).

Exemplos Como exemplo, oferece-se a aproximação numérica do valor de

Para uma aproximação muito boa, os valores e são completamente suficientes. Substituindo, obtém-se:

A tabela a seguir mostra a avaliação numérica deste cálculo.

Termo Valor numérico

Esta aproximação, obtida com pouco esforço, já coincide com o valor real

em seis casas decimais (arredondado) após a vírgula.H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 116. Para sublinhar a eficiência, note-se: se Euler tivesse simplesmente somado o valor do termo também para , seriam necessários cerca de um milhão de somandos para a mesma qualidade de aproximação. Supondo que Euler precisasse de uma média de 20 segundos de tempo de cálculo por termo, isso significaria cerca de oito meses de cálculo ininterrupto.

Analogamente, o valor decimal de pode ser aproximado. Aqui, a escolha de e é suficiente.

Termo Valor numérico

Este valor também é preciso em seis casas decimais.

Somas alternadas Um método usando séries alternadas truncadas é de Borwein.P. Borwein: An efficient algorithm for the Riemann zeta function. In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis (PDF). Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34, ISBN 978-0-8218-2167-1. Baseado em transformações de aceleração de convergência aplicadas à série

obtém-se a fórmula de fácil implementação

onde também depende da escolha de . Esta é utilizável para todos os valores . O erro pode ser estimado, com , para por

Para , tem-se, por outro lado,X. Gourdon, P. Sebah: Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function. Numbers, constants and computation.P. Borwein: An efficient algorithm for the Riemann zeta function. In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis (PDF). Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34, ISBN 978-0-8218-2167-1.

No entanto, também aqui vale que o método perde eficiência para partes imaginárias crescentes no lado real positivo.

Cálculo na linha crítica Fórmula de Riemann-Siegel Muitos métodos perdem precisão quando a parte imaginária do argumento é escolhida muito grande, o que é problemático na busca por zeros ao longo da linha crítica. Portanto, recorremos a outros métodos, um dos quais é a fórmula de Riemann-Siegel.

Para

segue-se, com a equação funcional da função zeta, rapidamente , ou seja, , isto é, mapeia ao longo da linha crítica apenas para valores do círculo unitário. Portanto, uma função contínua com valores reais pode ser definida implicitamente pela equação

com . Esta é também chamada de função teta de Riemann-Siegel. Finalmente, a função de Riemann-Siegel pode ser definida:

Mostra-se facilmente que , ou seja, é até mesmo uma função com valores reais , mas se anula exatamente no ponto se for um zero não trivial de . Seja escolhido suficientemente grande. Para valores , segue-se agora, com a equação funcional aproximada,

O termo de erro pode ser melhorado arbitrariamente por meio de um desenvolvimento assintóticoH. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 154.

Limites superiores exatos para resultam para através de

As funções , determináveis explicitamente, tornam-se bastante complicadas com o aumento de ; as primeiras são dadas porH. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, p. 154.

No geral, obtém-se um esforço de operações aritméticas na forma de cálculos de termos seguidos de adição para um cálculo bastante preciso. Para encontrar zeros, já é suficiente identificar regiões com mudança de sinal (e, para sua determinação precisa, realizar então uma bissecção).

Se estiver na faixa de , a escolha é suficiente para uma precisão com erro , sendo necessários apenas termos. Para uma precisão semelhante, métodos menos especializados (como a soma alternada) precisam de aproximadamente termos. Xavier Gourdon and Pascal Sebah: Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation, (PDF), p. 6

Método de Odlyzko e Schönhage

Em 1988, A. M. Odlyzko e A. Schönhage desenvolveram um método muito rápido para determinar valores da função zeta de Riemann na linha crítica. Este se baseia nas ideias da fórmula de Riemann-Siegel, mas requer apenas em vez de operações aritméticas, onde pode ser escolhido arbitrariamente pequeno. O refinamento das técnicas de cálculo baseia-se na transformada rápida de Fourier.A. M. Odlyzko and A. Schoenhage: Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function. Trans. Am. Math. Soc., 309 (1988), p. 797–809.

Avanços no cálculo de zeros