thumb|Círculos tangentes. Dados três círculos mutuamente tangentes (), existem, em geral, duas respostas possíveis () para o raio que um quarto círculo tangente pode ter.

Em geometria, o teorema de Descartes afirma que para cada quatro círculos tangentes entre si, ou mutuamente tangentes, os raios dos círculos satisfazem uma certa equação quadrática. Ao resolver esta equação, pode-se construir um quarto círculo tangente a três círculos dados e mutuamente tangentes. O teorema tem o nome de René Descartes, que o enunciou em 1643.

Frederick Soddy no seu poema de 1936 The Kiss Precise resume o teorema em termos das curvaturas (inverso dos raios com sinal) dos quatro círculos:

Casos especiais do teorema aplicam-se quando um ou dois dos círculos são substituídos por uma linha reta (com curvatura zero) ou quando as curvaturas são inteiros ou números quadrados. Uma versão do teorema usando números complexos permite calcular os centros dos círculos, e não apenas os seus raios. Com uma definição apropriada de curvatura, o teorema também se aplica em geometria esférica e geometria hiperbólica. Em dimensões superiores, uma equação quadrática análoga aplica-se a sistemas de esferas ou hiperesferas tangentes entre si.

História

Problemas geométricos envolvendo círculos tangentes têm sido ponderados há milénios. Na Grécia antiga do terceiro século a.C., Apolónio de Perga dedicou um livro inteiro ao tópico, [Tangências]. Este livro perdeu-se e é conhecido principalmente através de uma descrição do seu conteúdo por Pappus de Alexandria e através de referências fragmentadas a ele na matemática islâmica medieval. No entanto, a geometria grega estava amplamente focada na construção com régua e compasso. Por exemplo, o problema de Apolónio, intimamente relacionado com o teorema de Descartes, pede a construção de um círculo tangente a três círculos dados que não precisam ser eles próprios tangentes. Em vez disso, o teorema de Descartes é formulado usando relações algébricas entre números que descrevem formas geométricas. Isto é característico da geometria analítica, um campo pioneiro de René Descartes e Pierre de Fermat na primeira metade do século XVII.

Descartes discutiu brevemente o problema do círculo tangente em 1643, em duas cartas à Princesa Isabel do Palatinado. Descartes inicialmente propôs à princesa o problema de Apolónio. Após os resultados parciais de Isabel revelarem que resolver o problema completo analiticamente seria demasiado tedioso, ele simplificou o problema para o caso em que os três círculos dados são mutuamente tangentes, e ao resolver este problema simplificado, encontrou a equação que descreve a relação entre os raios, ou curvaturas, de quatro círculos tangentes entre si. Este resultado ficou conhecido como teorema de Descartes. Descartes não forneceu o raciocínio através do qual encontrou esta relação.

A matemática japonesa preocupava-se frequentemente com problemas envolvendo círculos e suas tangências, e o matemático japonês Yamaji Nushizumi enunciou uma forma do teorema do círculo de Descartes em 1751. Como Descartes, ele expressou-o como uma equação polinomial nos raios, em vez das suas curvaturas. O caso especial deste teorema para uma linha reta e três círculos foi registado numa placa sangaku japonesa de 1824.

O teorema de Descartes foi redescoberto em 1826 por Jakob Steiner, em 1842 por Philip Beecroft, e em 1936 por Frederick Soddy. Soddy escolheu formatar a sua versão do teorema como um poema, The Kiss Precise, e publicou-o na Nature. Os círculos tangentes neste problema são por vezes conhecidos como círculos de Soddy. Soddy também estendeu o teorema a esferas, e noutro poema descreveu a cadeia de seis esferas cada uma tangente às suas vizinhas e a três esferas dadas mutuamente tangentes, uma configuração agora chamada hexleta de Soddy. Thorold Gosset e vários outros estenderam o teorema e o poema a dimensões arbitrárias; a versão de Gosset foi publicada no ano seguinte. A generalização é por vezes chamada de teorema de Soddy–Gosset, embora tanto a hexleta como a versão tridimensional fossem conhecidas anteriormente, no sangaku e no trabalho de 1886 de Robert Lachlan. Uma generalização para múltiplos círculos tangentes em duas dimensões foi provada em 2025.

Múltiplas provas do teorema foram publicadas. A prova de Steiner usa cadeias de Pappus e o teorema de Viviani. Provas de Philip Beecroft e de H. S. M. Coxeter envolvem mais quatro círculos, passando por triplos de tangências dos três círculos originais; Coxeter também forneceu uma prova usando geometria inversiva. Provas adicionais envolvem argumentos baseados em simetria, cálculos em álgebra exterior, ou manipulação algébrica da fórmula de Heron (para a qual veja ). O resultado também segue da observação de que o determinante de Cayley–Menger dos quatro centros coplanares dos círculos é zero.

Enunciado

thumb|Aqui, como todos os três círculos são tangentes entre si no mesmo ponto, o teorema de Descartes não se aplica.

O teorema de Descartes é mais facilmente enunciado em termos das curvaturas dos círculos. A curvatura com sinal (ou flexão) de um círculo é definida onde é o seu raio. Quanto maior o círculo, menor é a magnitude da sua curvatura, e vice-versa. O sinal em (representado pelo símbolo ) é positivo para um círculo que é externamente tangente aos outros círculos. Para um círculo internamente tangente que circunscreve os outros círculos, o sinal é negativo. Se uma linha reta for considerada um círculo degenerado com curvatura zero (e portanto raio infinito), o teorema de Descartes também se aplica a uma linha e três círculos que são todos três mutuamente tangentes (ver círculo generalizado).

Para quatro círculos que são tangentes entre si em seis pontos distintos, com curvaturas o teorema de Descartes diz:

Se uma das quatro curvaturas for considerada uma variável, e as restantes constantes, esta é uma equação quadrática.

Para encontrar o raio de um quarto círculo tangente a três círculos dados tangentes entre si, a equação quadrática pode ser resolvida como

O símbolo indica que, em geral, esta equação tem duas soluções, e qualquer tripleto de círculos tangentes tem dois círculos tangentes (ou linhas retas degeneradas). Critérios específicos do problema podem favorecer uma destas duas soluções em detrimento da outra em qualquer problema dado.

O teorema não se aplica a sistemas de círculos com mais de dois círculos tangentes entre si no mesmo ponto. Requer que os pontos de tangência sejam distintos. Quando mais de dois círculos são tangentes num único ponto, pode haver infinitos tais círculos, com curvaturas arbitrárias; ver feixe de círculos.

Localização dos centros dos círculos

Para determinar um círculo completamente, não só o seu raio (ou curvatura), mas também o seu centro deve ser conhecido. A equação relevante é expressa mais claramente se as coordenadas cartesianas forem interpretadas como um número complexo . A equação então parece-se com o teorema de Descartes e é por isso chamada de teorema de Descartes complexo. Dados quatro círculos com curvaturas e centros a seguinte igualdade é válida além de :

Uma vez encontrado usando , pode-se proceder ao cálculo de resolvendo como uma equação quadrática, levando a uma forma semelhante a :

Novamente, em geral existem duas soluções correspondentes às duas soluções O sinal de mais/menos na fórmula acima não corresponde necessariamente ao sinal de mais/menos na fórmula

Casos especiais

thumb|Três círculos congruentes mutuamente tangentes de curvaturas são todos tangentes a dois círculos de curvaturas respetivas .

Três círculos congruentes

Quando três dos quatro círculos são congruentes, os seus centros formam um triângulo equilátero, tal como os seus pontos de tangência. As duas possibilidades para um quarto círculo tangente a todos os três são concêntricas, e reduz-se a

Uma ou mais linhas retas

thumb|O teorema de Descartes ainda se aplica quando um dos círculos é substituído por uma linha reta de curvatura zero.

Se um dos três círculos for substituído por uma linha reta tangente aos círculos restantes, então a sua curvatura é zero e sai de Por exemplo, então pode ser fatorizada

e simplifica

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtém-se outra formulação alternativa deste caso

que foi descrita como "uma espécie de versão demente do teorema de Pitágoras".

Se dois círculos forem substituídos por linhas, a tangência entre os dois círculos substituídos torna-se um paralelismo entre as suas duas linhas de substituição. Neste caso, reduz-se à trivial

Isto corresponde à observação de que, para que todas as quatro curvas permaneçam mutuamente tangentes, os outros dois círculos devem ser

Curvaturas inteiras

thumb|Um tapete de Apolónio com curvaturas inteiras, gerado por quatro círculos mutuamente tangentes com curvaturas −10 (o círculo exterior), 18, 23 e 27

Quando quatro círculos tangentes descritos por têm todos curvaturas inteiras, o quarto círculo alternativo descrito pela segunda solução da equação também deve ter uma curvatura inteira. Isto porque ambas as soluções diferem de um inteiro pela raiz quadrada de um inteiro, e portanto qualquer solução só pode ser um inteiro se esta raiz quadrada, e consequentemente a outra solução, também for um inteiro. Cada quatro inteiros que satisfazem a equação do teorema de Descartes formam as curvaturas de quatro círculos tangentes Quádruplos inteiros deste tipo também estão intimamente relacionados com triângulos de Heron, triângulos com lados e inteiros.

Começando com quaisquer quatro círculos mutuamente tangentes, e substituindo repetidamente um dos quatro pela sua solução alternativa (salto de Vieta), de todas as formas possíveis, obtém-se um sistema de infinitos círculos tangentes chamado tapete de Apolónio. Quando os quatro círculos iniciais têm curvaturas inteiras, o mesmo acontece com cada substituição e, portanto, todos os círculos no tapete têm curvaturas inteiras. Quaisquer quatro círculos tangentes com curvaturas inteiras pertencem exatamente a um tal tapete, unicamente descrito pelo seu quádruplo raiz dos quatro maiores círculos e das quatro menores curvaturas. Este quádruplo pode ser encontrado, começando a partir de qualquer outro quádruplo do mesmo tapete, substituindo repetidamente o círculo mais pequeno por um maior que resolve a mesma equação de Descartes, até que nenhuma tal redução seja possível.

Um quádruplo raiz é dito primitivo se não tiver um divisor comum não trivial. Cada quádruplo raiz primitivo pode ser encontrado a partir de uma fatorização de uma soma de dois quadrados, como o Para ser primitivo, deve satisfazer as condições adicionais Fatorizações de somas de dois quadrados podem ser obtidas usando o teorema da soma de dois quadrados. Qualquer outro tapete de Apolónio inteiro pode ser formado multiplicando um quádruplo raiz primitivo por um inteiro arbitrário, e qualquer quádruplo num destes tapetes (isto é, qualquer solução inteira da equação de Descartes) pode ser formado invertendo o processo de substituição usado para encontrar o quádruplo raiz. Por exemplo, o tapete com quádruplo raiz mostrado na figura, é gerado desta forma a partir da soma de dois quadrados fatorizada

Círculos de Ford

thumb|Círculos de Ford no intervalo unitário

Os casos especiais de uma linha reta e curvaturas inteiras combinam-se nos círculos de Ford. Estas são uma família infinita de círculos tangentes ao do sistema de coordenadas cartesianas nos seus pontos racionais. Cada fração (em termos reduzidos) tem um círculo tangente à linha no ponto com curvatura . Três destas curvaturas, juntamente com a curvatura zero do eixo, satisfazem as condições do teorema de Descartes sempre que os denominadores de duas das frações correspondentes somam o denominador da terceira. Os dois círculos de Ford para as frações e (ambas em termos reduzidos) são tangentes Quando são tangentes, formam um quádruplo de círculos tangentes com o e com o círculo para o seu mediana .