Um problema matemático de xadrez é um problema matemático formulado usando um tabuleiro de xadrez e peças de xadrez. Esses problemas pertencem à matemática recreativa. Os problemas mais conhecidos desse tipo são o problema das oito rainhas e o problema do cavalo, que têm conexão com a teoria dos grafos e a combinatória. Muitos matemáticos famosos estudaram problemas matemáticos de xadrez, como Tábite, Euler, Legendre e Gauss.Gik, p.11 Além de encontrar uma solução para um problema específico, os matemáticos geralmente estão interessados em contar o número total de soluções possíveis, encontrar soluções com certas propriedades, bem como a generalização dos problemas para tabuleiros N×N ou M×N.

Problemas de independência Um problema de independência (ou unguard) é um problema no qual, dado um certo tipo de peça de xadrez (rainha, torre, bispo, cavalo ou rei), deve-se encontrar o número máximo que pode ser colocado em um tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma das peças ataque a outra. Também é necessário que um arranjo real para este número máximo de peças seja encontrado. O problema mais famoso deste tipo é o problema das oito rainhas. Os problemas são ainda mais estendidos perguntando quantas soluções possíveis existem. Generalizações adicionais aplicam o problema a tabuleiros NxN.

Um tabuleiro de xadrez 8×8 pode ter 16 reis independentes, 8 rainhas independentes, 8 torres independentes, 14 bispos independentes ou 32 cavalos independentes.Gik, p.98

Problemas de dominação Um problema de dominação (ou cobertura) envolve encontrar o número mínimo de peças de um determinado tipo a serem colocadas em um tabuleiro de xadrez de modo que todas as casas vazias sejam atacadas pelo menos uma vez. É um caso especial do problema da cobertura de vértices. O número mínimo de reis dominantes é 9, de rainhas é 5, de torres é 8, de bispos é 8 e de cavalos é 12. Para obter 8 torres dominantes, é suficiente colocar uma em cada coluna. Soluções para outras peças são fornecidas nos diagramas abaixo.

Os problemas de dominação também são às vezes formulados como a necessidade de encontrar o número mínimo de peças necessárias para atacar todas as casas do tabuleiro, incluindo as ocupadas.Gik, p.101. Para torres, são necessárias oito; a solução é colocá-las todas em uma mesma fileira ou coluna. As soluções para outras peças são fornecidas abaixo.

A dominação por rainhas na diagonal principal de um tabuleiro de xadrez de qualquer tamanho pode ser mostrada equivalente a um problema na teoria dos números de encontrar um conjunto de Salem–Spencer, um conjunto de números no qual nenhum dos números é a média de outros dois. A colocação ideal das rainhas é obtida deixando vago um conjunto de casas que têm todas a mesma paridade (todas estão em posições pares ou todas em posições ímpares ao longo da diagonal) e que formam um conjunto de Salem–Spencer.

Problemas de percurso das peças Esses tipos de problemas pedem para encontrar um percurso de uma determinada peça de xadrez, que visite todas as casas de um tabuleiro de xadrez. O problema mais conhecido desse tipo é o problema do cavalo. Além do cavalo, tais percursos existem para o rei, a rainha e a torre. Os bispos são incapazes de alcançar todas as casas do tabuleiro, então o problema para eles é formulado para alcançar todas as casas de uma cor.Gik, p. 87

Problemas de troca de peças Nos problemas de troca de peças, as peças brancas trocam de lugar com as peças pretas. Isso é feito com os movimentos legais normais das peças durante um jogo, mas a alternância de turnos não é necessária. Por exemplo, um cavalo branco pode se mover duas vezes seguidas. Capturar peças não é permitido. Dois desses problemas são mostrados abaixo. No primeiro, o objetivo é trocar as posições dos cavalos brancos e pretos. No segundo, as posições dos bispos devem ser trocadas com uma limitação adicional de que as peças inimigas não se ataquem mutuamente.

Ver também Problema de xadrez

Referências

Bibliografia (em alemão). Alguns capítulos do livro estão disponíveis online: Евгений Гик "Шахматы и математика" e como arquivo DJVU (em russo).

Ligações externas Chess por Weisstein, Eric W. do MathWorld. Chess-Piece Arrangement Problems por George Jelliss (do The Games and Puzzles Journal). Chessboard Tasks por Ed Pegg Jr.

* Categoria:Xadrez