Na matemática, na área da teoria dos números, um período de Gauss (ou período gaussiano) é um certo tipo de soma de raízes da unidade. Os períodos permitem cálculos explícitos em corpos ciclotômicos conectados com a teoria de Galois e com a análise harmônica. Ver Transformada discreta de Fourier. Eles são fundamentais na teoria clássica chamada ciclotomia. Intimamente relacionada a isso está a Soma de Gauss, um tipo de soma exponencial que é uma combinação linear de períodos.

História Como o nome sugere, os períodos foram introduzidos por Gauss e serviram de base para a sua teoria de construção com régua e compasso. Por exemplo, a construção do heptadecágono (uma fórmula que impulsionou a sua reputação) dependia da álgebra de tais períodos, dos quais

é um exemplo envolvendo a décima sétima raiz da unidade

Definição geral

Dado um número inteiro , seja um subgrupo qualquer do grupo multiplicativo

de resíduos inversíveis módulo , e seja

Um período de Gauss é uma soma das raízes n-ésimas primitivas da unidade , onde percorre todos os elementos em uma classe lateral (coset) fixa de em .

A definição de também pode ser enunciada em termos do traço do corpo. Temos

para algum subcorpo de e algum coprimo com . Isto corresponde à definição anterior identificando e com os grupos de Galois de e , respectivamente. A escolha de determina a escolha da classe lateral de em na definição anterior.

Exemplo A situação é mais simples quando é um número primo . Nesse caso, é cíclico de ordem , e tem um subgrupo de ordem para cada fator de . Por exemplo, podemos tomar de índice dois. Neste caso, consiste nos resíduos quadráticos módulo . Correspondendo a este temos o período de Gauss

somado sobre os resíduos quadráticos, e o outro período somado sobre os não-resíduos quadráticos. É fácil ver que

uma vez que o lado esquerdo soma todas as raízes -ésimas primitivas de 1. Também sabemos, através da definição do traço, que reside numa extensão quadrática de . Portanto, como Gauss sabia, satisfaz uma equação quadrática com coeficientes inteiros. Avaliar o quadrado da soma está conectado com o problema de contar quantos resíduos quadráticos entre e são sucedidos por resíduos quadráticos. A solução é elementar (como diríamos hoje, calcula uma função zeta local, para uma curva que é uma cônica). Tem-se

, para ou respectivamente.

Isto, portanto, fornece-nos a informação precisa sobre qual corpo quadrático reside em . (Isso também poderia ser derivado por argumentos de ramificação na teoria algébrica dos números; ver corpo quadrático.)

Como Gauss acabou demonstrando, para avaliar , a raiz quadrada correta a ser tomada é a positiva (respectivamente, vezes o real positivo) nos dois casos. Assim, o valor explícito do período é dado por

Somas de Gauss Como é discutido com mais detalhe abaixo, os períodos de Gauss estão intimamente relacionados a uma outra classe de somas de raízes da unidade, agora geralmente chamadas de somas de Gauss (ou somas gaussianas). A quantidade apresentada acima é uma soma de Gauss quadrática mod , o exemplo não trivial mais simples de uma soma de Gauss. Observa-se que também pode ser escrito como

onde aqui representa o símbolo de Legendre , e a soma é feita sobre as classes de resíduos módulo . Mais genericamente, dado um caráter de Dirichlet , a soma de Gauss mod associada a é

Para o caso especial em que é o caráter de Dirichlet principal, a soma de Gauss reduz-se à soma de Ramanujan:

onde é a função de Möbius.

As somas de Gauss são onipresentes na teoria dos números; por exemplo, elas ocorrem de forma significativa nas equações funcionais das funções L. (As somas de Gauss são, em certo sentido, os análogos de corpo finito da função gama.)

Relação entre períodos de Gauss e somas de Gauss Os períodos de Gauss estão relacionados com as somas de Gauss para as quais o caráter é trivial em . Tais caráteres assumem o mesmo valor para todos os elementos de uma classe lateral fixa de em . Por exemplo, o caráter quadrático mod descrito acima assume o valor 1 em cada resíduo quadrático e o valor -1 em cada não-resíduo quadrático. A soma de Gauss pode assim ser escrita como uma combinação linear de períodos de Gauss (com coeficientes ); o inverso também é verdadeiro, como consequência das relações de ortogonalidade para o grupo . Noutras palavras, os períodos de Gauss e as somas de Gauss são transformadas de Fourier uns dos outros. Os períodos de Gauss geralmente residem em corpos menores, já que, por exemplo, quando é um primo , os valores são raízes -ésimas da unidade. Por outro lado, as somas de Gauss possuem propriedades algébricas mais agradáveis.

Bibliografia

Categoria:Teoria de Galois Categoria:Corpos ciclotômicos Categoria:Geometria euclidiana plana Categoria:Carl Friedrich Gauß