Na matemática, na área da teoria dos números, uma soma de Jacobi é um tipo de soma de caracteres formada com caráteres de Dirichlet. Exemplos simples seriam as somas de Jacobi para caráteres de Dirichlet módulo um número primo , definidas por
onde o somatório corre sobre todos os resíduos (para os quais nem nem são 0). As somas de Jacobi são os análogos para corpos finitos da função beta. Tais somas foram introduzidas por C. G. J. Jacobi no início do século dezenove em conexão com a teoria da ciclotomia. As somas de Jacobi podem ser fatoradas genericamente em produtos de potências de somas de Gauss . Por exemplo, quando o caráter não é trivial,
análogo à fórmula para a função beta em termos de funções gama. Como as somas de Gauss não triviais possuem valor absoluto , segue-se que também possui valor absoluto quando os caráteres não são triviais. As somas de Jacobi residem em corpos ciclotômicos menores do que as somas de Gauss não triviais . Os somandos de , por exemplo, não envolvem nenhuma raiz -ésima da unidade, mas sim envolvem apenas valores que residem no corpo ciclotômico das raízes -ésimas da unidade. Semelhantemente às somas de Gauss, as somas de Jacobi possuem fatorações em ideais primos conhecidas em seus corpos ciclotômicos; veja o Teorema de Stickelberger.
Quando é o Símbolo de Legendre,
Em geral, os valores das somas de Jacobi ocorrem em relação com as funções zeta locais de formas diagonais. O resultado sobre o símbolo de Legendre equivale à fórmula para o número de pontos em uma seção cônica que é uma reta projetiva sobre o corpo de elementos. Um artigo de André Weil de 1949 reviveu fortemente o assunto. De fato, por meio da relação de Hasse-Davenport do final do século XX, as propriedades formais das potências das somas de Gauss tornaram-se atuais mais uma vez.
Além de apontar a possibilidade de escrever funções zeta locais para hipersuperfícies diagonais por meio de somas de Jacobi gerais, Weil (1952) demonstrou as propriedades das somas de Jacobi como caráteres de Hecke. Isto se tornaria importante assim que a multiplicação complexa de variedades abelianas se estabelecesse. Os caráteres de Hecke em questão eram exatamente aqueles necessários para expressar as funções L de Hasse-Weil das curvas de Fermat, por exemplo. Os condutores exatos desses caráteres, uma questão que Weil havia deixado aberta, foram determinados em trabalhos posteriores.
Bibliografia
Categoria:Corpos ciclotômicos