Em teoria da probabilidade e estatística, um parâmetro de escala é um tipo de parâmetro numérico de uma família paramétrica de distribuições de probabilidade que remete à quão dispersa a distribuição é. Quanto maior o parâmetro de escala, mais dispersa é a distribuição, ou seja, mais provavel é encontrar valores mais distantes da média e mediana.

Definição formal Se uma família de distribuições de probabilidade é tal que existe um parâmetro s (e um outro conjunto de parâmetros θ) para os quais a função de distribuição acumulada satisfaz

Então, s é chamado de parâmetro de escala, pois seu valor determina a escala, ou seja, a dispersão estatística da distribuição de probabilidade. Se s for grande, a distribuição será mais dispersa; se s for pequeno, será mais concentrada. miniaturadaimagem|300x300px|Animação que mostra os efeitos de um parâmetro de escala em uma distribuição de probabilidade com suporte na reta real positiva. miniaturadaimagem|300x300px|Efeito de um parâmetro de escala sobre uma mistura de duas distribuições de probabilidade normal Se a densidade de probabilidade existir para todos os valores do conjunto completo de parâmetros, então a densidade (como função apenas do parâmetro de escala) satisfaz: onde f é a densidade de uma versão padronizada da densidade, ou seja, .

Um estimador de um parâmetro de escala é chamado de estimador de escala.

Famílias com parâmetros de localização Quando uma família parametrizada possui um parâmetro de localização, uma definição ligeiramente diferente é frequentemente utilizada.

Se denotarmos o parâmetro de localização por e o parâmetro de escala por , então exigimos que onde é a função de distribuição acumulada para a família parametrizada. Essa modificação é necessária para que o desvio padrão (ou qualquer outra medida de escala) de uma distribuição que tenha um centro que não seja em zero seja um parâmetro de escala, pois, caso contrário, a média mudaria quando reescalássemos . No entanto, esta definição alternativa não é usada de forma consistente.

Parâmetro de taxa Algumas famílias de distribuições usam um parâmetro de taxa (ou parâmetro de escala inverso ), que é simplesmente o inverso do parâmetro de escala . Por exemplo, a distribuição exponencial com parâmetro de escala β possui densidade de probabilidade mas poderia ser escrita equivalentemente com o parâmetro de taxa

Exemplos

A distribuição uniforme pode ser parametrizada com um parâmetro de localização de e um parâmetro de escala . A distribuição normal possui dois parâmetros: um parâmetro de localização. e um parâmetro de escala , seu desvio padrão. Na prática, a distribuição normal é frequentemente parametrizada em termos da escala ao quadrado que é chamado de variância. A distribuição gama é geralmente parametrizada em termos de um parâmetro de escala ou seu parâmetro de taxa. Casos especiais de distribuições em que o parâmetro de escala é igual a um podem ser chamados de "padrão" sob certas condições. Por exemplo, se o parâmetro de localização for igual a zero e o parâmetro de escala for igual a um, a distribuição normal é conhecida como distribuição normal padrão, e a distribuição de Cauchy como distribuição de Cauchy padrão .

Estimativa Uma estatística pode ser usada para estimar um parâmetro de escala se:

Seja invariante em relação à localização, Escale linearmente com o parâmetro de escala, e Convirja à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Com a última condição sendo necessária para o estimador do parâmetro de escala ser consistente. Diversas medidas de dispersão estatística satisfazem tais requisitos, apesar de exigirem certas modificações para serem estimadores consistentes. Para que uma estatística estime o parâmetro de escala, geralmente é necessário multiplicá-la por um fator de escala constante, que depende da distribuição em questão.

Por exemplo, para usar o desvio absoluto mediano para estimar o desvio padrão da distribuição normal, é preciso multiplicá-lo pelo fator 1.4826, uma vez que onde Φ −1 é a função quantil (inversa da função de distribuição cumulativa) para a distribuição normal padrão. Ou seja, 1,4826... × (desvio absoluto mediano) é um estimador consistente para o desvio padrão de uma distribuição normal. Da mesma forma, o desvio absoluto médio precisa ser multiplicado por aproximadamente 1,2533 para ser um estimador consistente para o desvio padrão. Fatores diferentes seriam necessários para estimar o desvio padrão se a população não seguisse uma distribuição normal.

Ver também

tendência central Estimador invariante Parâmetro de localização Família de escala de localização Dispersão que preserva a média Mistura de escamas Parâmetro de forma Dispersão estatística

Referências

Categoria:Estatística Categoria:Probabilidade