Na matemática, as identidades de Rogers-Ramanujan são duas identidades relacionadas a séries hipergeométricas básicas e partições de inteiros. As identidades foram descobertas e provadas pela primeira vez por , e foram subsequentemente redescobertas (sem uma prova) por Srinivasa Ramanujan algum tempo antes de 1913. Ramanujan não tinha uma prova, mas redescobriu o artigo de Rogers em 1917, e eles então publicaram uma nova prova conjunta . redescobriu e provou as identidades de forma independente.
Definição As identidades de Rogers-Ramanujan são
e
.
Aqui, denota o símbolo q-Pochhammer.
Interpretação combinatória Considere o seguinte: é a função geradora para partições com exatamente partes tais que partes adjacentes têm uma diferença de pelo menos 2. é a função geradora para partições tais que cada parte é congruente a 1 ou 4 módulo 5. é a função geradora para partições com exatamente partes tais que partes adjacentes têm uma diferença de pelo menos 2 e de modo que a menor parte seja pelo menos 2. é a função geradora para partições tais que cada parte é congruente a 2 ou 3 módulo 5.
As identidades de Rogers-Ramanujan podem agora ser interpretadas da seguinte maneira. Seja um número inteiro não negativo. O número de partições de de tal modo que as partes adjacentes diferem em pelo menos 2 é igual ao número de partições de de modo que cada parte seja congruente a 1 ou 4 módulo 5. O número de partições de de tal modo que as partes adjacentes diferem em pelo menos 2 e que a menor parte seja pelo menos 2 é igual ao número de partições de de modo que cada parte seja congruente a 2 ou 3 módulo 5.
Alternativamente, O número de partições de de tal modo que, com partes, a menor parte seja pelo menos , é o mesmo que o número de partições de de modo que cada parte seja congruente a 1 ou 4 módulo 5. O número de partições de de tal modo que, com partes, a menor parte seja pelo menos , é o mesmo que o número de partições de de modo que cada parte seja congruente a 2 ou 3 módulo 5.
Aplicação em partições Como os termos que ocorrem na identidade são funções geradoras de certas partições, as identidades fazem afirmações sobre partições (decomposições) de números naturais. As sequências de números que resultam dos coeficientes da série de Maclaurin das funções G e H de Rogers-Ramanujan são sequências especiais de números de partição de nível 5:
A sequência de números ) representa o número de possibilidades para o número natural afetado n de decompor este número em parcelas dos padrões 5a + 1 ou 5a + 4 com a ∈ . Assim, fornece o número de partições de um inteiro n em que as partes adjacentes da partição diferem em pelo menos 2, igual ao número de partições em que cada parte é igual a 1 ou 4 mod 5.
E a sequência numérica ) representa analogamente o número de possibilidades para o número natural afetado n de decompor este número em parcelas dos padrões 5a + 2 ou 5a + 3 com a ∈ . Assim, dá o número de partições de um inteiro n no qual as partes adjacentes da partição diferem em pelo menos 2 e no qual a menor parte é maior ou igual a 2 é igual ao número de partições cujas partes são iguais a 2 ou 3 mod 5. Isto será ilustrado como exemplos nas duas tabelas a seguir:
+Sequência de números de partição Número natural nRepresentações de soma com os critérios descritos111211+1311+1+1424, 1+1+1+1524+1, 1+1+1+1+1636, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1736+1, 4+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1846+1+1, 4+4, 4+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1959, 6+1+1+1, 4+4+1, 4+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+11069+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+111711, 9+1+1, 6+4+1, 6+1+1+1+1+1, 4+4+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+112911+1, 9+1+1+1, 6+6, 6+4+1+1, 6+1+1+1+1+1+1, 4+4+4, 4+4+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1131011+1+1, 9+4, 9+1+1+1+1, 6+6+1, 6+4+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1, 4+4+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1141214, 11+1+1+1, 9+4+1, 9+1+1+1+1+1, 6+6+1+1, 6+4+4, 6+4+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1151414+1, 11+4, 11+1+1+1+1, 9+6, 9+4+1+1, 9+1+1+1+1+1+1, 6+6+1+1+1, 6+4+4+1, 6+4+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1161716, 14+1+1, 11+4+1, 11+1+1+1+1+1, 9+6+1, 9+4+1+1+1, 9+1+1+1+1+1+1+1, 6+6+4, 6+6+1+1+1+1, 6+4+4+1+1, 6+4+1+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+4, 4+4+4+1+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
+Sequência de números de partição Número natural nRepresentações de soma com os critérios descritos10nenhuma212313412+2513+2623+3, 2+2+2727, 3+2+2838, 3+3+2, 2+2+2+2937+2, 3+3+3, 3+2+2+21048+2, 7+3, 3+3+2+2, 2+2+2+2+2
Frações contínuas de Rogers-Ramanujan R e S
Definição das frações contínuas right|thumb|Representação por coloração de domínio do convergente da função , onde é a fração contínua de Rogers-Ramanujan.
right|thumb|Representação da aproximação da fração contínua de Rogers-Ramanujan.
A seguinte fração contínua é chamada de fração contínua de Rogers-Ramanujan,Bruce Berndt et al., The Rogers–Ramanujan continued fraction, pdf e a fração contínua é chamada de fração contínua alternada de Rogers-Ramanujan! {| class="wikitable" !Fração contínua padronizada !Fração contínua alternada
O fator cria um quociente de funções de módulo e também torna as frações contínuas mostradas modulares:
Esta definição se aplica à fração contínua mencionada:
Esta é a definição da função teta de Ramanujan:
Com esta função, a fração contínua R pode ser criada desta forma:
.
A conexão entre a fração contínua e as funções de Rogers-Ramanujan já havia sido encontrada por Rogers em 1894 (e mais tarde independentemente por Ramanujan).
A fração contínua também pode ser expressa pela função eta de Dedekind:
A fração contínua alternada tem as seguintes identidades para as funções restantes de Rogers-Ramanujan e para a função teta de Ramanujan descrita acima:
Identidades com as funções teta de Jacobi As seguintes definições são válidas para as funções teta de Jacobi de "valor nulo" (Nullwert):
E as seguintes definições de produto são idênticas às definições completas mencionadas:
Estas três chamadas funções teta de valor nulo estão interligadas através da identidade de Jacobi:
Os matemáticos Edmund Taylor Whittaker e George Neville Watsonhttp://wayback.cecm.sfu.ca/ ~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf descobriram estas identidades definicionais.
As funções de fração contínua de Rogers-Ramanujan e têm as seguintes relações com as funções teta de valor nulo:
O elemento da raiz quinta também pode ser removido do nomo elíptico das funções teta e transferido para a função tangente externa. Dessa forma, pode ser criada uma fórmula que necessite apenas de uma das três principais funções teta:
Funções modificadas modulares de G e H
Definição da forma modular de G e H Uma função elíptica é uma função modular se esta função, em dependência do nomo elíptico como uma função variável interna resultar em uma função que também resulte como uma combinação algébrica do módulo elíptico de Legendre e suas integrais elípticas completas do primeiro tipo na forma K e K'. O módulo elíptico de Legendre é a excentricidade numérica da elipse correspondente.
Se você definir (onde a parte imaginária de é positiva), as duas funções a seguir são funções modulares:
Se q = e2πiτ, então q−1/60G(q) e q11/60H(q) são funções modulares de τ.
Para a fração contínua de Rogers-Ramanujan R(q), esta fórmula é válida com base nas modificações modulares descritas de G e H:
Valores especiais Estas funções têm os seguintes valores para o recíproco da constante de Gelfond e para o quadrado deste recíproco:
A fração contínua de Rogers-Ramanujan assume os seguintes valores de ordenada para esses valores de abscissa:
{| class="wikitable"
Identidades da função eta de Dedekind
Derivação pela média geométrica Dadas as definições mencionadas de e desta forma já mencionada:
As identidades da função eta de Dedekind para as funções G e H resultam combinando apenas as duas cadeias de equações a seguir:
O quociente é rigorosamente a fração contínua de Rogers-Ramanujan:
Mas o produto leva a uma combinação simplificada de operadores de Pochhammer:
A média geométrica dessas duas cadeias de equações leva diretamente às seguintes expressões em dependência da função eta de Dedekind em sua forma de Weber:
Desta forma, as funções moduladas e são representadas diretamente usando apenas a fração contínua R e o quociente da função eta de Dedekind!
Somente com os produtos de Pochhammer, a seguinte identidade então se aplica às funções não moduladas G e H:
Teorema dos números pentagonais Para a função eta de Dedekind de acordo com a definição de Weber, estas fórmulas se aplicam:
A quarta fórmula descreve o teorema dos números pentagonais por causa dos expoentes!
Essas definições básicas se aplicam aos números pentagonais e aos números de castelo de cartas:
A quinta fórmula contém os números de partições regulares como coeficientes.
A própria sequência de números de partições regulares indica o número de maneiras pelas quais um número inteiro positivo pode ser dividido em parcelas inteiras positivas. Para os números a , os números de partição associados a todas as partições de números associadas estão listados na tabela a seguir:
+Valores de exemplo de P(n) e partições de números associadasnP(n)Partições correspondentes11(1)22(1+1), (2)33(1+1+1), (1+2), (3)45(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)57(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)611(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+2), (1+1+2+2), (2+2+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)
Outras identidades da função eta de Dedekind A seguinte simplificação adicional para as funções moduladas e pode ser realizada. Essa conexão se aplica especialmente à função eta de Dedekind a partir da quinta potência do nomo elíptico:
Estas duas identidades em relação à fração contínua de Rogers-Ramanujan foram dadas para as funções moduladas e :
A combinação das três últimas fórmulas mencionadas resulta no seguinte par de fórmulas:
{| class="wikitable"
Função modular de Weber reduzida As funções modulares de Weber em sua forma reduzida são uma maneira eficiente de computar os valores das funções de Rogers-Ramanujan:
Em primeiro lugar, introduzimos as funções modulares de Weber reduzidas nesse padrão:
Esta função satisfaz a seguinte equação de sexto grau:
{| class="wikitable"
Portanto, esta função é de fato uma função algébrica.
Mas, junto com o teorema de Abel-Ruffini, esta função em relação à excentricidade não pode ser representada por expressões elementares.
No entanto, existem muitos valores que, de fato, podem ser expressos de forma elementar.
Quatro exemplos serão dados para isso:
Primeiro exemplo:
{| class="wikitable"
Segundo exemplo:
{| class="wikitable"
Terceiro exemplo:
{| class="wikitable"
Quarto exemplo:
{| class="wikitable"
Para essa função, uma expressão adicional é válida:
Identidade exata da excentricidade para as funções G e H Desta forma, as fórmulas dependentes da excentricidade precisa para as funções G e H podem ser geradas:
O seguinte quociente da função eta de Dedekind tem esta dependência da excentricidade:
Esta é a fórmula dependente da excentricidade para a fração contínua R:
As três últimas fórmulas agora mencionadas serão inseridas nas fórmulas finais mencionadas na seção acima:
{| class="wikitable"
No lado esquerdo das equações, as funções e em relação à função de nomo elíptico são escritas diretamente.
E no lado direito, uma combinação algébrica da excentricidade é formulada.
Portanto, estas funções e são de fato funções modulares!
Aplicação a equações quínticas
Descoberta do módulo correspondente por Charles Hermite