alt=Gráfico da função polinomial de Jacobi P n^(a,b) com n=10 e a=2 e b=2 no plano complexo de -2-2i a 2+2i com cores criado com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1|miniatura|Gráfico da função polinomial de Jacobi com e e no plano complexo de a com cores criado com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1

Em matemática, os polinômios de Jacobi (ocasionalmente chamados de polinômios hipergeométricos) são uma classe de polinômios ortogonais clássicos. Eles são ortogonais com respeito ao peso no intervalo . Os polinômios de Gegenbauer, e portanto também os polinômios de Legendre, de Zernike e de Chebyshev, são casos especiais dos polinômios de Jacobi.

Os polinômios de Jacobi foram introduzidos por Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definições

Via função hipergeométrica Os polinômios de Jacobi são definidos através da função hipergeométrica da seguinte forma:

onde é o símbolo de Pochhammer (para o fatorial crescente). Neste caso, a série para a função hipergeométrica é finita, portanto, obtém-se a seguinte expressão equivalente:

Fórmula de Rodrigues Uma definição equivalente é dada pela fórmula de Rodrigues:

Se , então reduz-se aos polinômios de Legendre:

Equação diferencial Os polinômios de Jacobi são, a menos de escala, a única solução polinomial do problema de Sturm-Liouville (teoria de Sturm-Liouville)

onde . A outra solução envolve a função logaritmo. O teorema de Bochner afirma que os polinômios de Jacobi são caracterizados de forma única como soluções polinomiais para problemas de Sturm-Liouville com coeficientes polinomiais.

Expressão alternativa para argumento real Para real, o polinômio de Jacobi pode alternativamente ser escrito como

e para inteiro

onde é a função gama.

No caso especial em que as quatro quantidades , , , são inteiros não negativos, o polinômio de Jacobi pode ser escrito como

A soma se estende sobre todos os valores inteiros de para os quais os argumentos dos fatoriais são não negativos.

Casos especiais

Assim, o coeficiente principal é .

Propriedades básicas

Ortogonalidade Os polinômios de Jacobi satisfazem a condição de ortogonalidade

Conforme definidos, eles não possuem norma unitária com respeito ao peso. Isso pode ser corrigido dividindo-se pela raiz quadrada do lado direito da equação acima, quando .

Embora não produza uma base ortonormal, uma normalização alternativa é às vezes preferida devido à sua simplicidade:

Relação de simetria Os polinômios possuem a relação de simetria

logo o outro valor terminal é

Derivadas A -ésima derivada da expressão explícita leva a

Relações de recorrência A relação de recorrência de 3 termos para os polinômios de Jacobi de e fixos é:

para . Escrevendo por brevidade , e , isto se torna, em termos de

Como os polinômios de Jacobi podem ser descritos em termos da função hipergeométrica, as recorrências da função hipergeométrica fornecem recorrências equivalentes para os polinômios de Jacobi. Em particular, as relações contíguas de Gauss correspondem às identidades

Função geradora A função geradora dos polinômios de Jacobi é dada por

onde

e o ramo principal da raiz quadrada é escolhido de modo que .

Outros polinômios Os polinômios de Jacobi se reduzem a outros polinômios clássicos.

Ultraesféricos (Polinômios de Gegenbauer):Legendre:Chebyshev:Laguerre:Hermite:

Processo estocástico Os polinômios de Jacobi aparecem como as auto-funções do processo de Markov em definido até o momento em que atinge a fronteira. Para , temosAssim, este processo é nomeado processo de Jacobi.

Núcleo de calor (Heat kernel) Seja

Então, para qualquer ,Assim, é chamado de núcleo de calor de Jacobi.

Outras propriedades O discriminante éFórmula de Bailey:onde , e é a função hipergeométrica de duas variáveis de Appell. Este é um análogo do núcleo de Mehler para polinômios de Hermite, e da fórmula de Hardy-Hille para polinômios de Laguerre.

Representação integral do tipo Laplace:

Raízes (Zeros) Se , então possui raízes reais. Portanto, nesta seção assumimos por padrão. Esta seção é baseada em.

Defina:

são os zeros positivos da função de Bessel do primeiro tipo , ordenados de tal forma que . são as raízes de , ordenadas de modo que .

Desigualdades é estritamente e monotonicamente crescente em relação a e estritamente e monotonicamente decrescente em relação a .

Se , e , então é estritamente e monotonicamente crescente em relação a .

Quando ,

para exceto quando para , exceto quando

para

Eletrostática As raízes satisfazem as relações de Stieltjes: A primeira relação pode ser interpretada fisicamente. Fixe uma partícula elétrica em +1 com carga , e outra partícula em -1 com carga . Então, posicione partículas elétricas com carga . A primeira relação afirma que os zeros de são as posições de equilíbrio das partículas. Este equilíbrio é estável e único.

Outras relações, como , são conhecidas em forma fechada.

Como as raízes especificam o polinômio a menos de uma escala, isso fornece uma forma alternativa de caracterizar de maneira única os polinômios de Jacobi.

A interpretação eletrostática permite que muitas relações sejam vistas de modo intuitivo. Por exemplo:

a relação de simetria entre e ; as raízes decrescem monotonicamente quando aumenta;

Uma vez que a relação de Stieltjes também existe para os polinômios de Hermite e os polinômios de Laguerre, tomando um limite apropriado de , derivam-se as relações limites. Por exemplo, para os polinômios de Hermite, os zeros satisfazemAssim, ao tomar o limite de , todas as partículas elétricas são forçadas a uma vizinhança infinitesimal da origem, onde a intensidade do campo é linear. Então, após o redimensionamento da reta, obtemos a mesma configuração eletrostática para os zeros dos polinômios de Hermite.

Comportamento Assintótico

Fórmula de Darboux Para no interior de , a assintótica de para grandes valores de é dada pela fórmula de Darboux

onde

e o termo "" é uniforme no intervalo para todo .

Para ordens superiores, defina:

é a função beta de Euler é o fatorial decrescente.

Fixando reais, fixando , e fixando . À medida que ,uniformemente para todos os .

O caso é a fórmula de Darboux apresentada acima.

Fórmula do tipo de Hilb Defina:

é a função de Bessel

Fixando reais, fixando À medida que , temos a fórmula do tipo de Hilb:onde são funções de . As primeiras entradas são:

Para qualquer constante arbitrária fixa , o termo de erro satisfaz

Fórmula de Mehler-Heine O comportamento assintótico dos polinômios de Jacobi perto dos pontos é dado pela fórmula de Mehler-Heine

onde os limites são uniformes para num domínio limitado.

A assintótica fora de é menos explícita.

Aplicações

Matriz d de Wigner A expressão () permite a expressão da matriz d de Wigner (para ) em termos dos polinômios de Jacobi:

onde .

Ver também Desigualdade de Askey-Gasper Polinômios de grande q-Jacobi Polinômios contínuos de q-Jacobi Polinômios de pequeno q-Jacobi Polinômios de pseudo-Jacobi Polinômios de Gegenbauer Polinômios de Romanovski

Referências

Leitura adicional

Ligações externas

Categoria:Funções hipergeométricas especiais Categoria:Polinômios ortogonais