Na teoria de Lie e na teoria de representação, a decomposição de Levi, conjecturada por Wilhelm Killing e Élie Cartan e demonstrada por Eugenio Elia Levi (1905), afirma que qualquer álgebra de Lie de dimensão finita g sobre um corpo de característica zero é o produto semidireto de um ideal solúvel e uma subálgebra semissimples.

Uma parte consiste no seu radical, um ideal solúvel máximo, e a outra é uma subálgebra semissimples, chamada de subálgebra de Levi.

Quando vista como uma álgebra quociente de g, esta álgebra de Lie semissimples também é chamada de fator de Levi de g. Até certo ponto, a decomposição pode ser usada para reduzir problemas sobre álgebras de Lie de dimensão finita e grupos de Lie a problemas separados sobre álgebras de Lie nessas duas classes especiais: solúveis e semissimples.

Além disso, Malcev (1942) mostrou que quaisquer duas subálgebras de Levi são conjugadas por um automorfismo (interno) da forma

onde z está no nilradical (teorema de Levi-Malcev).

Um resultado análogo é válido para as álgebras associativas e é chamado de Teorema principal de Wedderburn.

Extensões dos resultados Na teoria de representação, a decomposição de Levi de subgrupos parabólicos de um grupo redutivo é necessária para construir uma grande família das chamadas representações induzidas parabolicamente. A Decomposição de Langlands é um leve refinamento da decomposição de Levi para subgrupos parabólicos utilizada neste contexto.

Afirmações análogas são válidas para grupos de Lie simplesmente conexos e, como mostrado por George Mostow, para álgebras de Lie algébricas e grupos algébricos simplesmente conexos sobre um corpo de característica zero.

Não existe um análogo da decomposição de Levi para a maioria das álgebras de Lie de dimensão infinita; por exemplo, as álgebras de Lie afins possuem um radical consistindo de seu centro, mas não podem ser escritas como um produto semidireto do centro com outra álgebra de Lie. A decomposição de Levi também falha para álgebras de dimensão finita sobre corpos de característica positiva.

Ver também

Decomposições de grupos de Lie

Referências

Bibliografia

Reimpresso em: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Roma (1959), p. 101. .

Ligações externas