Na matemática, a teoria de representação de álgebras de Lie semissimples é uma das maiores conquistas da teoria de grupos de Lie e álgebras de Lie. A teoria foi desenvolvida principalmente por E. Cartan e H. Weyl e, por conta disso, também é conhecida como a teoria de Cartan-Weyl. A teoria fornece a descrição estrutural e a classificação de uma representação de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples (sobre ); em particular, ela fornece uma maneira de parametrizar (ou classificar) as representações irredutíveis de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples, um resultado conhecido como o teorema do peso máximo.

Existe uma correspondência biunívoca natural entre as representações de dimensão finita de um grupo de Lie compacto simplesmente conexo K e as representações de dimensão finita da álgebra de Lie semissimples complexa que é a complexificação da álgebra de Lie de K (este fato é essencialmente um caso especial da Correspondência grupo de Lie-álgebra de Lie). Além disso, representações de dimensão finita de um grupo de Lie compacto conexo podem ser estudadas por meio das representações de dimensão finita do recobrimento universal de tal grupo. Portanto, a teoria de representação de álgebras de Lie semissimples marca o ponto de partida para a teoria geral das representações de grupos de Lie compactos conexos.

A teoria é a base para os trabalhos posteriores de Harish-Chandra relativos à teoria de representação (de dimensão infinita) de grupos redutivos reais.

Classificando representações de dimensão finita de álgebras de Lie semissimples Existe uma bela teoria que classifica as representações de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples sobre . As representações irredutíveis de dimensão finita são descritas por um teorema do peso máximo. A teoria é descrita em vários livros-texto, incluindo , e .

Seguindo uma visão geral, a teoria é descrita em ordem crescente de generalidade, começando com dois casos simples que podem ser feitos "à mão" e, em seguida, prosseguindo para o resultado geral. A ênfase aqui está na teoria de representação; para as estruturas geométricas envolvendo sistemas de raízes necessárias para definir o termo "elemento integral dominante", siga o link acima sobre pesos na teoria de representação.

Visão geral A classificação das representações irredutíveis de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples sobre ou geralmente consiste em duas etapas. A primeira etapa corresponde à análise de representações hipotéticas, resultando em uma classificação provisória. A segunda etapa é a realização efetiva dessas representações.

Uma álgebra de Lie real é geralmente complexificada, permitindo a análise em um corpo algebricamente fechado. Trabalhar com os números complexos também admite bases melhores. O seguinte teorema se aplica: Uma representação de dimensão finita linear real de uma álgebra de Lie real se estende a uma representação linear complexa de sua complexificação. A representação linear real é irredutível se, e somente se, a representação linear complexa correspondente for irredutível. Além disso, uma álgebra de Lie semissimples complexa possui a propriedade da redutibilidade completa. Isso significa que toda representação de dimensão finita se decompõe como uma soma direta de representações irredutíveis.

Conclusão: A classificação se resume a estudar representações lineares complexas irredutíveis da álgebra de Lie (complexificada).

Classificação: Passo Um O primeiro passo é hipotetizar a existência de representações irredutíveis. Ou seja, levanta-se a hipótese de que se tem uma representação irredutível de uma álgebra de Lie semissimples complexa sem se preocupar em como a representação é construída. As propriedades dessas representações hipotéticas são investigadas,Veja a Seção 6.4 de no caso de sl(3,C) e condições necessárias para a existência de uma representação irredutível são então estabelecidas.

As propriedades envolvem os pesos da representação. Aqui está a descrição mais simples. (Lá especializada para ) Seja uma subálgebra de Cartan de , ou seja, uma subálgebra comutativa máxima com a propriedade de que é diagonalizável para cada , e sejam uma base para . Um peso para uma representação de é uma coleção de autovalores simultâneos

para os operadores comutantes . Em uma linguagem independente de base, é um funcional linear em tal que existe um vetor não nulo que satisfaz para todo .

Define-se uma ordem parcial no conjunto de pesos, e a noção de peso máximo em termos dessa ordem parcial é estabelecida para qualquer conjunto de pesos. Usando a estrutura da álgebra de Lie, são definidas as noções de elemento dominante e elemento integral. Toda representação de dimensão finita deve possuir um peso maximal , ou seja, um peso para o qual nenhum peso estritamente maior ocorre. Se for irredutível e for um vetor de peso com peso , então o espaço inteiro deve ser gerado pela ação de em . Assim, é uma "representação cíclica de peso máximo". A seguir, mostra-se que o peso é na verdade o peso máximo (não apenas maximal) e que toda representação cíclica de peso máximo é irredutível. Depois disso, demonstra-se que duas representações irredutíveis com o mesmo peso máximo são isomorfas. Por fim, mostra-se que o peso máximo deve ser dominante e integral.

Conclusão: As representações irredutíveis são classificadas por seus pesos máximos, e o peso máximo é sempre um elemento integral dominante.

O Passo Um tem o benefício adicional de facilitar o entendimento da estrutura das representações irredutíveis. As representações se decompõem como somas diretas de espaços de peso, sendo que o espaço de peso correspondente ao peso máximo possui dimensão um. A aplicação repetida dos representantes de certos elementos da álgebra de Lie chamados operadores de abaixamento (lowering operators) gera um conjunto de geradores para a representação como um espaço vetorial. A aplicação de um desses operadores sobre um vetor com peso definido resulta em zero ou em um vetor com peso estritamente menor. Os operadores de levantamento (raising operators) funcionam de modo semelhante, mas resultam em um vetor com peso estritamente maior ou em zero. Os representantes da subálgebra de Cartan agem de forma diagonal numa base de vetores de peso.

Classificação: Passo Dois O Passo Dois diz respeito à construção das representações que o Passo Um permite. Ou seja, agora fixamos um elemento integral dominante e tentamos construir uma representação irredutível com peso máximo .

Existem várias maneiras padronizadas de se construir representações irredutíveis:

Construção usando módulos de Verma. Esta abordagem é puramente algébrica de Lie. (Geralmente aplicável a álgebras de Lie semissimples complexas.) A abordagem do grupo compacto utilizando o Teorema de Peter-Weyl. Se, por exemplo, , trabalhar-se-ia com o grupo compacto simplesmente conexo . (Geralmente aplicável a álgebras de Lie semissimples complexas.) Construção usando o Teorema de Borel-Weil, no qual são construídas representações holomorfas do grupo correspondente a . (Geralmente aplicável a álgebras de Lie semissimples complexas.) Realizando operações padrão em representações conhecidas, em particular aplicando a decomposição de Clebsch-Gordan a produtos tensoriais de representações. (Não aplicável de modo geral.)Esta abordagem é amplamente utilizada para álgebras de Lie clássicas em . No caso , esta construção é descrita abaixo. Nos casos mais simples, a construção a partir do zero.Esta abordagem para pode ser encontrada no Exemplo 4.10. de

Conclusão: Cada elemento integral dominante de uma álgebra de Lie semissimples complexa dá origem a uma representação irredutível de dimensão finita. Estas são as únicas representações irredutíveis.

O caso de sl(2,C) A álgebra de Lie sl(2,C) do grupo linear especial SL(2,C) é o espaço de matrizes 2x2 com traço zero e entradas complexas. Os seguintes elementos formam uma base:

Estes satisfazem as relações de comutação

.

Toda representação de dimensão finita de sl(2,C) se decompõe como uma soma direta de representações irredutíveis. Esta afirmação decorre do resultado geral sobre a redutibilidade completa das álgebras de Lie semissimples, Seção 10.3 ou do fato de que sl(2,C) é a complexificação da álgebra de Lie do grupo compacto simplesmente conexo SU(2). Teoremas 4.28 e 5.6 As representações irredutíveis , por sua vez, podem ser classificadas Seção 4.6 pelo maior autovalor de , que deve ser um número inteiro não negativo m. Ou seja, neste caso, um "elemento integral dominante" é simplesmente um número inteiro não negativo. A representação irredutível com o maior autovalor m possui dimensão e é gerada pelos autovetores para com os autovalores . Os operadores e movem para cima e para baixo a cadeia de autovetores, respectivamente. Esta análise é descrita em detalhes na teoria de representação de SU(2) (do ponto de vista da álgebra de Lie complexificada).

É possível dar uma realização concreta das representações (Passo Dois na visão geral acima) de duas formas. Primeiro, neste exemplo simples, não é difícil escrever uma base explícita para a representação e uma fórmula explícita de como os geradores da álgebra de Lie atuam sobre essa base. Equação 4.16 Alternativamente, pode-se realizar a representação Exemplo 4.10 com o peso máximo fazendo com que denote o espaço de polinômios homogêneos de grau em duas variáveis complexas, e então definindo a ação de , e por:

Note que as fórmulas para a ação de , e não dependem de ; o subscrito nas fórmulas apenas indica que estamos restringindo a ação dos operadores indicados ao espaço de polinômios homogêneos de grau em e .

O caso de sl(3,C) miniaturadaimagem|Exemplo dos pesos de uma representação da álgebra de Lie sl(3,C), com o peso máximo circulado miniaturadaimagem|A representação adjunta de oito dimensões de sl(3,C), referida como o "caminho óctuplo" na física de partículas Existe uma teoria semelhante Capítulo 6 que classifica as representações irredutíveis de sl(3,C), que é a álgebra de Lie complexificada do grupo SU(3). A álgebra de Lie sl(3,C) tem oito dimensões. Podemos trabalhar com uma base constituída pelos seguintes dois elementos diagonais:

,

juntamente com seis outras matrizes e , cada uma das quais possui um 1 em uma entrada fora da diagonal e zeros no resto. (Os possuem um 1 acima da diagonal e os possuem um 1 abaixo da diagonal.)

A estratégia, então, é diagonalizar simultaneamente e em cada representação irredutível . Lembre-se de que no caso de sl(2,C), a ação de e aumenta e diminui os autovalores de . Semelhantemente, no caso de sl(3,C), a ação de e "aumenta" e "diminui" os autovalores de e . As representações irredutíveis são, portanto, classificadas Teorema 6.7 pelos maiores autovalores e de e , respectivamente, onde e são números inteiros não negativos. Isto quer dizer que, neste contexto, um "elemento integral dominante" é precisamente um par de números inteiros não negativos.

Diferente das representações de sl(2,C), a representação de sl(3,C) não pode ser descrita explicitamente em geral. Portanto, exige um argumento para mostrar que cada par realmente surge como o peso máximo de alguma representação irredutível (Passo Dois na visão geral acima). Isso pode ser feito da seguinte forma. Primeiro, construímos as "representações fundamentais", com pesos máximos (1,0) e (0,1). Estas são a representação padrão tridimensional (onde ) e a representação dual da representação padrão. Em seguida, pega-se um produto tensorial de cópias da representação padrão com cópias da representação dual padrão, extraindo-se um subespaço invariante irredutível. Proposição 6.17

Embora as representações não possam ser descritas explicitamente, existe muita informação útil para descrever sua estrutura. Por exemplo, a dimensão da representação irredutível com o peso máximo é dada por Teorema 6.27