dereita|miniatura| As raíces 5 da unidade (puntos azuis) no plano complexo
En matemáticas, unha raíz da unidade, ocasionalmente chamada número de Moivre, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva . As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier.
Definición xeral Unha raíz -ésima da unidade, onde é un número enteiro positivo, é un número que satisfai a ecuación A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces -ésimas da unidade son
No entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) , e isto permite considerar as raíces da unidade en . Sexa cal sexa o corpo , as raíces da unidade en son números complexos, se a característica de é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo n e Corpo finito para obter máis detalles.
Dise que é unha raíz -ésima da unidade é se non é unha raíz -éisma da unidade para algún máis pequeno, é dicir se
Se n é un número primo, entón todas as raíces -ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas.
Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces -ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que e son números enteiros primos.
Propiedades elementais Cada -ésima raíz da unidade é unha raíz primitiva -ésima da unidade para algún , que é o menor enteiro positivo tal que .
Calquera potencia enteira dunha raíz -ésima da unidade é tamén unha raíz -ésima da unidade, pois
Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz -ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz -ésima da unidade:
Se é unha raíz -ésima da unidade e entón . De feito, pola definición de congruencia módulo n, para algún número enteiro , e polo tanto
Polo tanto, dada unha potencia de , temos , onde é o resto da división euclidiana de por .
Propiedades do grupo
Grupo de todas as raíces da unidade O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se e , entón e , onde é o mínimo común múltiplo de e .
Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.
Grupo das raíces -ésimas da unidade Para un número enteiro n, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces -ésimas da unidade tamén son raíces -ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces -ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.
Dada unha raíz primitiva -ésima da unidade , as outras raíces -ésimas son potencias de . Isto significa que o grupo das raíces -ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de grupo cíclico orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.
Grupo de Galois das raíces -ésimas da unidade primitivas Sexa a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre por unha raíz ésima primitiva da unidade . Como cada raíz -ésima da unidade é unha potencia de , o corpo contén todas as raíces -ésimas da unidade, e é unha extensión de Galois de
Se é un número enteiro, é unha raíz -ésima primitiva da unidade se e só se e son coprimos. Neste caso, o mapa
induce un automorfismo de , que mapea cada raíz -ésima da unidade coa súa -ésima potencia. Todo automorfismo de obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois sobre o corpo dos racionais.
As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa
define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo e o grupo de Galois de
Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais.
Expresión trigonométrica dereita|miniatura| As raíces cúbicas da unidade A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os reais e os enteiros , é
Facendo dá unha raíz primitiva da unidade, temos
mais
para . Noutras palabras,
é unha raíz primitiva -ésima da unidade.
A fórmula de Euler
que é válida para todos os reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces -ésimas da unidade na forma
Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva -enéisma da unidade se e só se a fracción está nos seus termos máis pequenos.
Expresión alxébrica As raíces -ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás ), as raíces -ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico -ésimo, e que moitas veces se denota . O grao de vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces -ésimas primitivas da unidade. As raíces de son exactamente as raíces primitivas -ésimas raíces da unidade.
Polinomios ciclotómicos Os ceros do polinomio
son precisamente as raíces -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O polinomio ciclotómico -ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1.
onde son as raíces primitivas -ésimas primitivas da unidade, e é a función totiente de Euler. O polinomio ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais). O caso de primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio
e expandindo mediante o teorema binomial.
Cada raíz -ésima da unidade é unha raíz primitiva -ésima da unidade para exactamente un divisor positivo de . Isto implica que
Esta fórmula representa a factorización do polinomio en factores irredutíbeis:
Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos
onde é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son
Grupos cíclicos As raíces -ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde , e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz -ésima primitiva da unidade.
As raíces -ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde . A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo.
Corpos ciclotómicos Ao achegar a unha raíz primitiva -ésima da unidade a obtense o -ésimo corpo ciclotómico Este corpo contén todas as raíces -ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do -ésimo polinomio ciclotómico sobre A extensión de corpo ten grao φ(n) e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Carácter de Dirichlet Grupo cíclico
Categoría:Polinomios Categoría:Teoría de números Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas