En matemáticas, o factorial descendente, — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing. defínese como o polinomio,
O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer ) defínese como
En ambos os casos o valor é 1 cando . Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.
O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación , onde é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo úsase para representar o factorial descendente e o símbolo para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth e son cada vez máis populares.
Son moi usados na función hiperxeométrica.
Exemplos e interpretación combinatoria Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:
Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:
Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.
Propiedades Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:
Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario:
Os factoriais descendentes e ascendentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial:
O factorial descendente pódese estender a valores reais de usando a función gamma sempre que e sexan números reais que non son enteiros negativos:
e tamén pode o factorial ascendente:
O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para pola serie de potencias sempre que Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación para factoriais ascendentes.
Notacións alternativas Unha notación alternativa para o factorial ascendente e para o factorial descendente
Notas
Véxase tamén Outros artigos Pochhammer -symbol Identidade de Vandermonde Ligazóns externas
— Elementary proofs
Categoría:Aritmética Categoría:Álxebra