En geometria diferencial, un camp de les matemàtiques, una varietat de Poisson és una varietat llisa dotada d'una estructura de Poisson. La noció de varietat de Poisson generalitza la de varietat simplèctica, que al seu torn generalitza l'espai de fases de la mecànica hamiltoniana.
Una estructura de Poisson (o suport de Poisson) en una varietat llisa és una funció a l'espai vectorial de funcions suaus en , convertint-la en una àlgebra de Lie subjecta a una regla de Leibniz (també coneguda com a àlgebra de Poisson).
Les estructures de Poisson en varietats van ser introduïdes per André Lichnerowicz el 1977 i reben el nom del matemàtic francès Siméon Denis Poisson, a causa de la seva aparició primerenca en els seus treballs sobre mecànica analítica.
La geometria de Poisson es pot considerar com una combinació de la teoria de la foliació, la geometria simplèctica i la teoria de Lie. Una varietat de Poisson té una estructura foliada. Cada fulla de la foliació té una estructura simplèctica. Les fulles estan connectades transversalment a través de la geometria de Lie.
Dels espais de fase de la mecànica clàssica a les varietats simplèctiques i de Poisson En mecànica clàssica, l'espai de fase d'un sistema físic consisteix en tots els valors possibles de la posició i de les variables de moment permeses pel sistema. Està dotat naturalment d'un suport de Poisson/forma simplèctica (vegeu més avall), que permet formular les equacions de Hamilton i descriure la dinàmica del sistema a través de l'espai de fase en el temps.
Per exemple, una sola partícula que es mou lliurement en el espai euclidià de dimensió (és a dir, que té com a espai de configuració) té espai de fase Les coordenades descriuen respectivament les posicions i els moments generalitzats. L'espai d' observables, és a dir, les funcions suaus sobre , està naturalment dotat d'una operació binària anomenada parèntesi de Poisson, definida com Aquest parèntesi satisfà les propietats estàndard d'un parèntesi de Lie, a més d'una compatibilitat addicional amb el producte de funcions, és a dir, la identitat de Leibniz. De manera equivalent, el parèntesi de Poisson a es pot reformular utilitzant la forma simplèctica De fet, si es considera el camp vectorial hamiltonià associat a una funció , aleshores el parèntesi de Poisson es pot reescriure com
En termes geomètrics diferencials més abstractes, l'espai de configuració és un varietat llisa de dimensions 2 , i l'espai de fase és el seu fibrat cotangent (una varietat de dimensió ). Aquesta última està naturalment equipada amb una forma simplèctica canònica, que en coordenades canòniques coincideix amb la descrita anteriorment. En general, pel teorema de Darboux, qualsevol varietat simplèctica arbitrària admet coordenades especials on la forma i el parèntesi són equivalents, respectivament, amb la forma simplèctica i el parèntesi de Poisson de La geometria simplèctica és, per tant, el marc matemàtic natural per descriure la mecànica hamiltoniana clàssica.
Les varietats de Poisson són generalitzacions addicionals de les varietats simplèctiques, que sorgeixen axiomatitzant les propietats que satisfà el parèntesi de Poisson en Més precisament, una varietat de Poisson consisteix en una varietat llisa (no necessàriament de dimensió parell) juntament amb un claudàtor abstracte , encara anomenat parèntesi de Poisson, que no sorgeix necessàriament d'una forma simplèctica , però compleix les mateixes propietats algebraiques.
La geometria de Poisson està estretament relacionada amb la geometria simplèctica: per exemple, cada claudàtor de Poisson determina una foliació les fulles de la qual estan naturalment equipades amb formes simplèctiques. Tanmateix, l'estudi de la geometria de Poisson requereix tècniques que normalment no s'utilitzen en la geometria simplèctica, com ara la teoria dels grupoides de Lie i els algebroides.
A més, hi ha exemples naturals d'estructures que haurien de ser "moralment" simplèctiques, però no ho són. Per exemple, el quocient suau d'una varietat simplèctica per un grup que actua per simplectomorfismes és una varietat de Poisson, que en general no és simplèctica. Aquesta situació modela el cas d'un sistema físic que és invariant sota simetries: l'espai de fase "reduït", obtingut quocientant l'espai de fase original per les simetries, en general ja no és simplèctic, sinó que és de Poisson.
Història Tot i que la definició moderna de la varietat de Poisson només va aparèixer a les dècades del 1970 i del 1980, el seu origen es remunta al segle XIX. Alan Weinstein va sintetitzar la història primerenca de la geometria de Poisson de la següent manera:
"Poisson va inventar els seus parèntesis com a eina per a la dinàmica clàssica. Jacobi es va adonar de la importància d'aquests parèntesis i va dilucidar les seves propietats algebraiques, i Lie va començar l'estudi de la seva geometria."
De fet, Siméon Denis Poisson va introduir el 1809 el que ara anomenem parèntesi de Poisson per obtenir noves integrals de moviment, és a dir, quantitats que es conserven al llarg del moviment. Més precisament, va demostrar que, si dues funcions i són integrals de moviments, aleshores hi ha una tercera funció, denotada per , que també és una integral del moviment. En la formulació hamiltoniana de la mecànica, on la dinàmica d'un sistema físic es descriu mitjançant una funció determinada (normalment l'energia del sistema), una integral de moviment és simplement una funció amb el qual Poisson commuta , és a dir, de manera que El que es coneixerà com a teorema de Poisson es pot formular com Els càlculs de Poisson van ocupar moltes pàgines, i els seus resultats van ser redescoberts i simplificats dues dècades més tard per Carl Gustav Jacob Jacobi. Jacobi va ser el primer a identificar les propietats generals del parèntesi de Poisson com una operació binària. A més, va establir la relació entre el parèntesi (de Poisson) de dues funcions i el parèntesi (de Lie) dels seus camps vectorials hamiltonians associats, és a dir, per tal de reformular (i donar una demostració molt més curta) el teorema de Poisson sobre les integrals de moviment. El treball de Jacobi sobre els claudàtors de Poisson va influir en els estudis pioners de Sophus Lie sobre simetries d'equacions diferencials, que van conduir al descobriment dels grups de Lie i les àlgebres de Lie. Per exemple, el que ara s'anomena estructures de Poisson lineals (és a dir, claudàtors de Poisson en un espai vectorial que envien funcions lineals a funcions lineals) corresponen precisament a les estructures d'àlgebra de Lie. A més, la integrabilitat d'una estructura de Poisson lineal (vegeu més avall) està estretament relacionada amb la integrabilitat de la seva àlgebra de Lie associada a un grup de Lie.
El segle XX va veure el desenvolupament de la geometria diferencial moderna, però no va ser fins al 1977 que André Lichnerowicz va introduir les estructures de Poisson com a objectes geomètrics en varietats llises. Les varietats de Poisson es van estudiar més a fons a l'article fonamental de 1983 d'Alan Weinstein, on es van demostrar per primera vegada molts teoremes bàsics d'estructura.
Aquests treballs van exercir una gran influència en les dècades següents en el desenvolupament de la geometria de Poisson, que avui dia és un camp a part, i alhora està profundament entrellaçat amb molts altres, incloent-hi la geometria no commutativa, els sistemes integrables, les teories de camps topològics i la teoria de la representació.
Definició formal Hi ha dos punts de vista principals per definir les estructures de Poisson: és habitual i convenient canviar entre ells.
Com a parèntesi Sigui una varietat llisa i deixeu denota l'àlgebra real de funcions reals suaus en , on la multiplicació es defineix punt per punt. Un parèntesi de Poisson (o estructura de Poisson) a és un - mapa bilineal
definint una estructura de l'àlgebra de Poisson en , és a dir, que compleixin les tres condicions següents:
Simetria obliqua: . Identitat de Jacobi: . Regla de Leibniz: .
Les dues primeres condicions garanteixen que defineix una estructura d'àlgebra de Lie en , mentre que el tercer garanteix que, per a cada , el mapa lineal és una derivació de l'àlgebra , és a dir, defineix un camp vectorial s'anomena camp vectorial hamiltonià associat a .
Selecció de coordenades locals , qualsevol parèntesi de Poisson ve donat per per el parèntesi de Poisson de les funcions de coordenades.
Com a bivector Un bivector de Poisson en una varietat llisa és un camp polivectorial satisfent l'equació diferencial parcial no lineal , on
denota el parèntesi Schouten–Nijenhuis en camps multivectors. Selecció de coordenades locals , qualsevol bivector de Poisson ve donat per per a funcions suaus antisimètriques en .
Referències
Categoria:Geometria diferencial