En matemàtiques, una àlgebra de Poisson és una àlgebra associativa juntament amb un parèntesi de Lie que també satisfà la llei de Leibniz; és a dir, el parèntesi també és una derivació. Les àlgebres de Poisson apareixen naturalment en la mecànica hamiltoniana i també són centrals en l'estudi dels grups quàntics. Les varietats amb una estructura d'àlgebra de Poisson es coneixen com a varietats de Poisson, de les quals les varietats simplèctiques i els grups de Poisson-Lie són un cas especial. L'àlgebra rep el nom en honor de Siméon Denis Poisson.

Definició Una àlgebra de Poisson és un espai vectorial sobre un camp K equipat amb dos productes bilineals, ⋅ i {, }, que té les propietats següents:

El producte ⋅ forma una K-àlgebra associativa. El producte {, }, anomenat parèntesi de Poisson, forma una àlgebra de Lie, i per tant és antisimètric i obeeix la identitat de Jacobi. El parèntesi de Poisson actua com una derivació del producte associatiu ⋅, de manera que per a qualsevol tres elements x, y i z a l'àlgebra, es té { x, y⋅z } = { x, y } ⋅z + y⋅ { x, z } .

L'última propietat sovint permet donar diverses formulacions de l'àlgebra, com s'assenyala als exemples següents.

Exemples Les àlgebres de Poisson es produeixen en diversos contextos.

Varietats simplèctiques L'espai de funcions suaus amb valors reals sobre una varietat simplèctica forma una àlgebra de Poisson. En una varietat simplèctica, cada funció amb valors reals H de la varietat indueix un camp vectorial X H, el camp vectorial hamiltonià. Aleshores, donades dues funcions suaus F i G sobre la varietat simplèctica, el claudàtor de Poisson es pot definir com:

Aquesta definició és coherent en part perquè el claudàtor de Poisson actua com una derivació. De manera equivalent, es pot definir el claudàtor {,} com a

on [,] és la derivada de Lie. Quan la varietat simplèctica és R2n amb l'estructura simplèctica estàndard, aleshores el parèntesi de Poisson pren la forma coneguda

Consideracions similars s'apliquen a les varietats de Poisson, que generalitzen les varietats simplèctiques permetent que el bivector simplèctic sigui deficient en rang.

Àlgebres de Lie L'àlgebra tensorial d'una àlgebra de Lie té una estructura d'àlgebra de Poisson. Una construcció molt explícita d'això es dóna a l'article sobre àlgebres envoltants universals.

La construcció procedeix construint primer l'àlgebra tensorial de l'espai vectorial subjacent de l'àlgebra de Lie. L'àlgebra tensorial és simplement la unió disjunta (suma directa ⊕) de tots els productes tensorials d'aquest espai vectorial. Aleshores es pot demostrar que el parèntesi de Lie es pot elevar consistentment a tota l'àlgebra tensorial: obeeix tant la regla del producte com la identitat de Jacobi del parèntesi de Poisson, i per tant és el parèntesi de Poisson, quan s'eleva. El parell de productes {,} i ⊗ formen aleshores una àlgebra de Poisson. Observeu que ⊗ no és ni commutativa ni anticomutativa: és simplement associativa.

Així, es té l'afirmació general que l'àlgebra tensorial de qualsevol àlgebra de Lie és una àlgebra de Poisson. L'àlgebra envoltant universal s'obté modificant l'estructura de l'àlgebra de Poisson.

Àlgebres associatives Si A és una àlgebra associativa, la imposició del commutador [ x, y ] = xy − yx la converteix en una àlgebra de Poisson (i per tant, també en una àlgebra de Lie) A L. Cal tenir en compte que l' A L resultant no s'ha de confondre amb la construcció de l'àlgebra tensorial descrita a la secció anterior. Si es volgués, també es podria aplicar aquesta construcció, però això donaria una àlgebra de Poisson diferent, que seria molt més gran.

Àlgebres d'operadors de vèrtex

Per a una àlgebra d'operadors de vèrtex (V, Y, ω, 1), l'espai V / C2(V) és una àlgebra de Poisson amb {a, b} = a0 b i a ⋅ b = a−1 b . Per a certes àlgebres d'operadors de vèrtex, aquestes àlgebres de Poisson són de dimensió finita.

Classificació Z2 Les àlgebres de Poisson poden rebre una gradació Z² de dues maneres diferents. Aquestes dues donen lloc a la superàlgebra de Poisson i a l'àlgebra de Gerstenhaber. La diferència entre les dues rau en la gradació del producte en si. Per a la superàlgebra de Poisson, la gradació ve donada per

mentre que a l'àlgebra de Gerstenhaber, el parèntesi disminueix la gradació en un:

En ambdues expressions denota la classificació de l'element ; normalment, compta com es pot descompondre en un producte parell o senar d'elements generadors. Les àlgebres de Gerstenhaber es produeixen convencionalment en la quantificació BRST.

Referències

Categoria:Àlgebra Categoria:Geometria