En la teoría axiomática de conjuntos, el lema de Rasiowa-Sikorski (nombrado así por Roman Sikorski y Helena Rasiowa) es uno de los hechos más importantes usados en la técnica del forzado. En el área del forzado, un subconjunto D de una notación de forzado (P, ≤) es llamado denso en P si para cualquier p ∈ P hay un d ∈ D con d ≤ p. Un filtro F en P es llamado D-genérico si
F ∩ E ≠ ∅ para todo E ∈ D.
Ahora podemos dar el lema de Rasiowa–Sikorski:
Dados (P, ≤) un poset y p ∈ P. Si D es una familia numerable de subconjuntos densos de P, existe un filtro D-genérico F en P tal que p ∈ F. El lema Rasiowa-Sikorski se puede ver como una forma más débil del axioma de Martin. Más específicamente, es equivalente a MA(), donde MA(𝛋) es el enunciado de que para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable y cualquier familia D de subconjuntos densos de P con cardinalidad menor o igual a 𝛋, hay un filtro D-genérico F ∈ P.
Prueba del lema de Rasiowa–Sikorski Dado que D es numerable, podemos enumerar los subconjuntos densos de P como D1, D2, …. Por suposición, existe p ∈ P. Entonces, por la densidad, existe p1 ≤ p con p1 ∈ D1. Repitiendo, tenemos … ≤ p2 ≤ p1 ≤ p con pi ∈ Di. Entonces G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ pi} es un filtro D-genérico.
Ejemplos Para (P, ≥) = (Func(X, Y), ⊂), el poset de las funciones parciales de X a Y, define Dx = {s ∈ P: x ∈ dom(s)}. Si X es enumerable, el lema de Rasiowa–Sikorski da un filtro {Dx: x ∈ X}-genérico F y por lo tanto una función ∪ F: X → Y.
Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de filtros D-genéricos, {H ∪ G0: PijPt} forma un filtro H-genérico. Si D es no numerable, pero la cardinalidad es estrictamente menor que y el poset cumple la condición de cadena numerable, podemos usar en cambio el axioma de Martin.
Véase también Filtro Axioma de Martin
Referencias
Set Theory for the Working Mathematician. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
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