El icosaedro regular (o simplemente icosaedro) es un poliedro que se puede construir a partir de un antiprisma pentagonal, uniendo dos pirámides pentagonales formadas por caras regulares a cada una de sus caras pentagonales. El poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros como caras, 30 aristas y 12 vértices. Es un ejemplo de sólido platónico y de deltaedro. El grafo icosaédrico es representado por el esqueleto de un icosaedro regular.
Muchos poliedros y otras figuras relacionadas se construyen a partir del icosaedro regular, incluyendo sus 59 estelaciones. El gran dodecaedro, uno de los sólidos de Kepler-Poinsot, se construye mediante la estelación del dodecaedro regular o del facetado del icosaedro. Algunos sólidos de Johnson se pueden construir eliminando las pirámides pentagonales. El poliedro conjugado del icosaedro regular es el dodecaedro regular, y su relación tiene un trasfondo histórico en la medición comparativa de sus volúmenes. Es análogo a un politopo de cuatro dimensiones, el hexacosicoron.
Los icosaedros regulares se encuentran en la naturaleza; un ejemplo bien conocido son las cápsides (cubiertas proteicas de los virus) en biología. Otras aplicaciones del icosaedro regular son el uso de su red en cartografía y los dados de veinte caras que pudieron haberse utilizado en la antigüedad, y que ahora son habituales en algunos juegos de rol modernos.
Construcción El icosaedro regular es un poliedro de veinte caras que son triángulos equiláteros. Es uno de los ocho deltaedros (poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros) convexos.
También puede construirse de la siguiente manera: Se comienza uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a la base de un antiprisma pentagonal. Estos componentes son poliedros elementales y no pueden desintegrarse en poliedros convexos más pequeños con caras regulares. Al reemplazar las bases de un antiprisma pentagonal con diez pirámides triangulares, el icosaedro regular se clasifica como un poliedro compuesto, opuesto a un poliedro elemental. Esta construcción dio lugar a los nombres alternativos de antiprisma pentagonal bicortado, o bipirámide pentagonal giroelongada debido a su proceso de construcción mediante sólidos de Johnson (la construcción de poliedros mediante la unión de dos pirámides a las bases de un antiprisma).
thumb|right|Tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares entre sí, con aristas que conectan sus vértices, forman un icosaedro regular
Los doce vértices de un icosaedro regular describen los tres planos rectangulares áureos mutuamente perpendiculares, cuyas esquinas están conectadas. Estos planos rectangulares se pueden construir a partir de un par de vértices situados en los puntos medios de las aristas opuestas de la superficie de un cubo, trazando un segmento entre ellos, y dividiendo dicho segmento según la proporción del número áureo desde su punto medio. Ambos vértices de un icosaedro regular tienen una longitud de arista de 2 y los tres planos se pueden definir mediante las coordenadas cartesianas siguientes:
Se puede achatar un octaedro regular separando todas sus caras y rellenándolas con más triángulos equiláteros. Como sugiere el proceso, el icosaedro regular también se conoce como octaedro truncado.
El icosaedro regular se puede desplegar en 43.380 desarrollos diferentes. La primera representación del desarrollo de un icosaedro apareció en el Manual del Pintor de Alberto Durero en 1525.
Propiedades Superficie y volumen thumb|Modelo 3D de un icosaedro regular
El área superficial de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. En el caso de un icosaedro regular, su área superficial es veinte veces la de cada una de sus caras triangulares equiláteras. Su volumen se puede obtener como veinte veces el de una pirámide cuya base es una de sus caras y cuyo vértice es el centro del icosaedro regular, o como la suma del volumen de dos pirámides pentagonales uniformes y el volumen de un antiprisma pentagonal. Dada la longitud de la arista de un icosaedro regular, entonces:
Relación con las esferas La esfera inscrita de un poliedro convexo toca cada cara del poliedro en su interior. La esfera circunscrita de un poliedro convexo contiene al poliedro y pasa por cada vértice. La interesfera de un poliedro convexo es tangente al centro de cada arista. Dada la longitud de la arista de un icosaedro regular, el radio de la esfera interna (inradio) , el radio de la esfera circunscrita (circunradio) y el radio de la esfera media (medioradio) son, respectivamente: , Table I(i), pp. 292–293. See column "", donde es La notación de Coxeter para el radio medio, señalando también que Coxeter utiliza como la longitud de la arista (véase p. 2).
Un problema que se remonta a los antiguos griegos es determinar cuál de dos figuras tiene un mayor volumen: un icosaedro regular inscrito en una esfera, o un dodecaedro regular inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón de Alejandría, Papo y Leonardo de Pisa, entre otros. Apolonio de Perge descubrió el curioso resultado de que la razón de los volúmenes de estas dos figuras es la misma que la razón de sus áreas superficiales. Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran al número áureo, pero con diferentes potencias. Resulta que el icosaedro regular ocupa menos volumen de la esfera (60,54%) que el dodecaedro regular (66,49%).
Otras medidas El ángulo diedro de un icosaedro regular es , que se obtiene sumando el ángulo de las pirámides pentagonales con caras regulares y el de un antiprisma pentagonal. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal y una pirámide pentagonal entre dos caras triangulares adyacentes es aproximadamente 38,2°. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal entre dos triángulos es de 100,8°, y el de una pirámide pentagonal entre las mismas caras es de 37,4°. Por lo tanto, para el icosaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes, en la arista donde se unen la pirámide pentagonal y el antiprisma pentagonal, es 37,4° + 100,8° = 138,2°.
El icosaedro regular tiene tres tipos de geodésicas cerradas, caminos en su superficie que son localmente rectos: evitan los vértices del poliedro, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. La primera geodésica forma un decágono regular perpendicular a la diagonal más larga y tiene una longitud de . Las otras dos geodésicas no son planas, y sus longitudes son y .
Simetría thumb|Ilustración de una simetría icosaédrica. Las simetrías quíntuples, triples y dobles están marcadas en azul, rojo y magenta, respectivamente. Los planos de simetría son círculos máximos representados en color cian
El icosaedro regular tiene treinta y un ejes de simetría rotacional (es decir, girando alrededor de uno de estos ejes se obtiene una apariencia idéntica). Hay seis ejes que pasan por dos vértices opuestos, diez ejes perpendiculares al centro de una cara triangular y quince ejes que pasan por el centro de cualquiera de sus aristas. Respectivamente, estos ejes son de simetría rotacional quíntuple (0°, 72°, 144°, 216° y 288°), simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) y simetría rotacional doble (0° y 180°).
También tiene quince planos de simetría que pueden representarse como círculos máximos de una esfera, que dividen la superficie de la esfera en 120 dominios fundamentales triangulares, denominados triángulos de Schwarz o también de Mobius. Tanto las reflexiones como las simetrías rotacionales son las isometrías (transformaciones que mantienen la apariencia del poliedro) que forman el grupo de simetría icosaédrica de orden 120. Este grupo de simetría es isomórfico al producto del grupo de simetría rotacional por el grupo cíclico de tamaño dos, generado por la reflexión a través del centro del icosaedro regular.
El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alternante de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfa al grupo simétrico en cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La demostración del teorema de Abel-Ruffini utiliza este hecho simple, y Felix Klein escribió un libro que utilizó la teoría de simetrías icosaédricas para deducir una solución analítica a la ecuación quíntica general.. Véase geometrías relacionadas de ese grupo de simetría para obtener más información sobre la historia y las simetrías relacionadas con los grupos de siete y once letras.
El icosaedro regular es isogonal, isoedral y e isotoxal: cualesquiera dos vértices, dos caras y dos aristas de un icosaedro regular pueden transformarse mediante rotaciones y reflexiones bajo su órbita de simetría, lo que preserva su apariencia. Cada poliedro regular tiene una envolvente convexa determinada por los puntos medios de sus aristas; el icosidodecaedro es esta envoltura convexa de un icosaedro regular. Cada vértice está rodeado por cinco triángulos equiláteros, por lo que el icosaedro regular se denota en notación de configuración de vértices; o en símbolos de Schläfli.
Ejemplos Juguetes
Los dados son uno de los objetos más comunes que utilizan diferentes poliedros, uno de los cuales es el icosaedro regular. El dado de veinte caras ya se usaba en la antigüedad. Un ejemplo es el dado del Egipto Ptolemaico, que posteriormente se usó con letras griegas inscritas en sus caras durante el período de Grecia y Roma. Otro ejemplo se encontró en el tesoro del sultán Tipu, hecho de oro y con números escritos en cada cara.
En varios juegos de rol, como Dragones & Mazmorras, el dado de veinte caras (etiquetado como d20) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Puede estar numerado del "0" al "9" dos veces, en cuyo caso suele funcionar como un dado de diez caras (d10). La mayoría de las versiones modernas están numeradas del "1" al "20". Scattergories es otro juego de mesa en el que el jugador debe hallar dentro de un tiempo determinado palabras que empiecen por una letra (seleccionada con el dado de veinte caras), pertenecientes a una serie de categorías contenidas en unas tarjetas que forman parte del juego.
Formas naturales y ciencias
En virología, el virus del herpes presenta cápsides de estructura icosaédrica, especialmente conocidas en los adenovirus. La capa proteica externa del VIH está encerrada en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un myovirus típico. De forma similar, varias especies de radiolarios descubiertas por Ernst Haeckel cuentan con capas descritas como diversos poliedros regulares. Una de ellas es el icosaedro de la circogonia, cuyo esqueleto tiene forma de icosaedro regular.
En química, los closo-carboranos son compuestos con una forma que se asemeja a un icosaedro regular. La macla con formas icosaédricas también se encuentra en cristales, especialmente en nanopartículas. Muchos boruros y alótropos del boro, como α- y β-romboédrico, contienen el icosaedro de boro B12 como unidad estructural básica.
En cartografía, Richard Buckminster Fuller utilizó el desarrollo plano de un icosaedro regular para crear un mapa conocido como mapa Dymaxion, subdividiendo el desarrollo plano en triángulos, calculando la cuadrícula sobre la superficie terrestre y transfiriendo los resultados de la esfera al poliedro. Esta proyección se creó cuando Fuller se percató de que Groenlandia es más pequeña que América del Sur.