Un tetraedro regular es un poliedro con cuatro caras que son triángulos equiláteros.
Descripción Clasificaciones En un tetraedro regular todas sus cuatro caras triangulares son congruentes, tienen el mismo tamaño y todas sus aristas son de la misma longitud. Como poliedro, el tetraedro regular es el deltaedro con el menor número de vértices y caras de entre los ocho deltaedros convexos. Ser un deltaedro significa que todas las caras de un poliedro son triángulos equiláteros. Al igual que las demás pirámides y todos los tetraedros en general, el tetraedro regular es autoconjugado, lo que significa que su dual también es un tetraedro regular.
Como uno de los cinco poliedros regulares que forman parte de los sólidos platónicos, todas las caras del tetraedro regular son polígonos regulares iguales. Conocidos desde la antigüedad, los sólidos platónicos reciben su nombre del filósofo griego Platón, quien asoció cuatro de estos sólidos con elementos naturales fundamentales. Asignó el tetraedro regular al elemento clásico del fuego, porque su vértice es el más afilado y penetrante. Tras su atribución a la naturaleza por Platón, Johannes Kepler dibujó cada uno de los sólidos platónicos en su obra Harmonices mundi, y en su libro Mysterium Cosmographicum también propuso un modelo del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, colocándolos anidados y separándolos con seis esferas circunscritas en un sólido e incritas en el siguiente, cuyas dimensiones correlacionaba con el tamaño de las órbitas los seis planetas que se conocían por entonces. Los sólidos iban ordenados del más interno al más externo de la forma siguiente: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.
El tetraedro regular es un antiprisma degenerado.
Coordenadas cartesianas Una forma de construir un tetraedro regular es utilizando las siguientes coordenadas cartesianas, que define los cuatro vértices de un tetraedro con arista de longitud 2, centrado en el origen y con aristas en dos niveles:
Un tetraedro regular puede incrustarse dentro de un cubo de dos maneras, de modo que cada vértice sea un vértice del cubo y cada arista sea una diagonal de una de las caras del cubo. Para una de estas incrustaciones, las coordenadas cartesianas de los vértices son:
Esto da como resultado un tetraedro con aristas de longitud , centrado en el origen. Para el otro tetraedro (que es dual al primero), se invierten todos los signos. Los vértices de estos dos tetraedros combinados son los vértices de un cubo, lo que demuestra que el tetraedro regular es el 3-demicubo, un poliedro que, por alternación, es un cubo. Esta forma tiene diagrama de Coxeter-Dynkin y símbolo de Schläfli .
Propiedades Medidas
Diversas medidas usando la arista a Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:
Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):
Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):
Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:
Radio de la exesfera (una esfera exterior que toca una de las caras de un tetraedro regular y los planos definidos al extender las caras adyacentes hacia afuera)
Distancia mínima entre aristas opuestas da, la longitud del segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio ρ de la esfera tangente a las aristas del tetraedro:
Altura H, la distancia desde una cara a su vértice opuesto:Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001
Volumen, área y desarrollo
Dado un tetraedro regular de arista a, su volumen V es un tercio del área de la base por la altura, la fórmula general para una pirámide:Coxeter, Harold Scott MacDonald; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948, Table I(i)
Esta fórmula también se puede deducir dividiendo un cubo en un tetraedro y en cuatro pirámides triangulares.
El área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de ellas, Ac), se calcula mediante la fórmula:
Ángulos Los ángulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60° (π/3 rad), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.
Los ángulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:
De forma equivalente, dado que la distancia más corta entre el centroide y un vértice es un tercio de la altura de un triángulo equilátero, el ángulo diedro (es decir, el ángulo entre dos caras triangulares) de un tetraedro regular es:
Los ángulos sólidos que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y se calculan de la forma siguiente:
Su ángulo sólido en un vértice subtendido por una cara es o aproximadamente 0,55129 estereorradianes o 1809,8 grados cuadrados.
Distancias a los puntos del tetraedro Para un tetraedro regular con arista y radio de la esfera circunscrita , las distancias desde un punto arbitrario en el espacio tridimensional hasta sus cuatro vértices satisfacen las ecuaciones siguientes:
Pendientes Con respecto al plano de la base, la pendiente de una cara (2) es el doble que la de una arista (), lo que corresponde al hecho de que la distancia horizontal recorrida desde la base hasta el ápice por una arista es el doble que la distancia horizontal recorrida por la mediana de una cara. En otras palabras, si C es el centroide de la base, la distancia desde C a un vértice de la base es el doble de la distancia desde C al punto medio de una arista de la base. Esto se debe a que las medianas de un triángulo se intersecan en su centroide, y este punto divide cada una de ellas en dos segmentos, uno de los cuales es el doble de largo que el otro (véase centroide).
Simetría left
El tetraedro regular tiene un grupo de simetría tridimensional conocido como simetría tetraédrica . Este grupo de simetría tiene 24 isometrías, que contienen siete ejes de rotación y seis planos de reflexión. Los siete ejes de rotación son los cuatro ejes de simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) que pasan por un vértice hasta el centroide de una cara triangular equilátera, y los tres ejes de simetría rotacional doble (0° y 180°) pasan por el punto medio de dos aristas. Este grupo puntual tiene simetría tetraédrica rotacional . Las seis reflexiones en un plano perpendicular a una arista, seis reflexiones en un plano combinadas con una rotación de 90° alrededor de un eje perpendicular al plano, constan de tres ejes, y dos por cada eje, lo que implica seis en total (equivalentemente, son rotaciones de 90° combinadas con inversión).
Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular, que muestra uno de los dos tetraedros del cubo. Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a la mitad de las de un cubo: aquellas que hacen corresponder a los tetraedros sobre sí mismos, y no entre sí. El tetraedro es el único sólido platónico que no se transforma sobre sí mismo mediante simetría central.
De forma resumida: Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis planos de simetría, los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 24: 2x(4x3). Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría tetraédricos, el denominado Td según la notación de Schläfli. El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta. Un plano que pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta de un tetraedro regular es un plano de simetría del tetraedro regular. En total hay 6 planos de simetría. Claudi Alsina 'Las mil caras de la belleza geométrica Los poliedros, 2011, Barcelona, impreso por Novagrafik ISBN 978-84-9006-022-3
Proyecciones ortogonales del tetraedro regular + Proyecciones ortogonalesCentrado porCara/vérticeAristaImagenSimetríaproyectiva El tetraedro regular posee dos operadores de proyección especiales: uno centrado en un vértice o, equivalentemente, en una cara, y otro centrado en una arista. El primero corresponde al plano de Coxeter A2.
Las proyecciones ortogonales de un tetraedro regular sobre un plano pueden ser: Triángulos; En particular, si el plano de proyección es paralelo a una cara, la proyección del tetraedro es un triángulo equilátero, correspondiente a una cara en verdadera magnitud. Cuadriláteros; En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos aristas opuestas del tetraedro, la proyección es un cuadrado, con un lado igual a la longitud de la arista del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de dos.
Conjugación El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí mismo (se suele denominar autoconjugado), ya que el poliedro conjugado de un tetradro de arista a es otro tetraedro de arista b, tal que:
Secciones thumb|200px|Secciones transversales
Las infinitas secciones que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar: Triángulos; En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un triángulo equilátero. Cuadriláteros; En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un rectángulo. Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte equidista de ambas, la sección resultante es un cuadrado de lado mitad de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos diferentes.
Líneas geodésicas cerradas
El tetraedro regular posee infinitas líneas geodésicas cerradas, todas simples.(Enlace doi roto: 30 de enero de 2026)..
Composición, descomposición y maclado Es posible incluir un tetraedro regular en un cubo de tal forma que cada uno de los vértices del tetraedro coincida con un vértice del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta forma;
Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de las caras del cubo).
Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros coinciden.
El sólido conjunto (o macla) de ambas es un poliedro compuesto denominado estrella octángula de Kepler (stella octangula).
El sólido común de ambos es un octaedro regular de arista mitad que la de los tetraedros.
No es posible rellenar el espacio únicamente con tetraedros regulares (aunque, parece ser, que Aristóteles así lo creía), pero sí es posible hacerlo con elementos formados por una combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.
De las infinitas formas de truncar un tetraedro regular, hay dos que producen resultados singulares:
Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto medio de sus aristas, se obtiene un octaedro regular.
Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera parte de sus aristas, se obtiene un sólido arquimediano que toma el nombre genérico de tetraedro truncado.
Un tetraedro no puede ser estrellado, puesto que todas las intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.
Figuras relacionadas Compuestos