En geometría discreta, el teorema de Tverberg, enunciado por primera vez por Helge Tverberg en 1966, es el resultado que establece que un número suficiente de puntos en el espacio euclídeo pueden ser partitionados en subconjuntos con envolvente convexa que se intersecan. Específicamente, para cualesquiera enteros positivos y cualquier conjunto de
puntos en un espacio euclídeo de dimensión , existe una partición de los puntos dados en subconjuntos cuyas envolventes convexas tienen todas un punto en común. En otras palabras, existe un punto (no necesariamente uno de los puntos dados) tal que pertenece a la envolvente convexa de todos los subconjuntos. La partición resultante de este teorema se conoce como partición de Tverberg.
El caso especial fue demostrado anteriormente por Radon y se conoce como lema de Radon.
Ejemplos El caso establece que cualesquiera puntos en la recta real pueden particionarse en subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. De hecho, si los puntos son , entonces la partición en para satisface esta condición (y es única).
Para , el teorema de Tverberg establece que cualesquiera puntos en el espacio euclídeo de dimensión pueden particionarse en dos subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. Esto se conoce como lema de Radon. En este caso, para puntos en posición general, la partición es única.
El caso y establece que cualesquiera siete puntos en el plano pueden particionarse en tres subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan. La ilustración muestra un ejemplo en el que los siete puntos son los vértices de un heptágono regular. Como muestra el ejemplo, puede haber muchas particiones de Tverberg diferentes para el mismo conjunto de puntos; y estos siete puntos pueden particionarse de siete maneras distintas que difieren entre sí por rotaciones.
Teorema topológico de Tverberg Una formulación equivalente del teorema de Tverberg es la siguiente:
Sean números enteros positivos y sea . Si es una homología afín cualquiera desde un símplex de dimensión sobre , entonces existen caras disjuntas dos a dos de cuyas imágenes bajo se intersecan. Es decir: existen caras de tales que y .
Ambas formulaciones son equivalentes porque cualquier función afín sobre un símplice queda determinada unívocamente por las imágenes de sus vértices. Formalmente, sea una homología afín de sobre . Sean los vértices de y sus imágenes bajo . Según la formulación original, los pueden particionarse en subconjuntos disjuntos, como por ejemplo , con envolventes convexas que se solapan. Dado que es afín, la envolvente convexa de es la imagen de la cara generada por los vértices para todo . Estas caras son disjuntas dos a dos y sus imágenes bajo se intersecan, tal como afirma la reformulación.
El teorema topológico de Tverberg (cuya hipótesis fue planteada por primera vez por Bárány en una carta de 1976 a Tverberg) generaliza esta formulación. Permite que sea cualquier función continua, no necesariamente afín. Sin embargo, solo es válido en el caso en que sea una potencia prima:
Sea un entero positivo y una potencia de un número primo. Sea . Si es una función continua cualquiera desde un símplex de dimensión sobre , entonces existen caras disjuntas dos a dos de cuyas imágenes bajo se intersecan. Es decir: existen caras de tales que y .
Demostraciones y refutaciones El teorema topológico de Tverberg fue demostrado para primo por Bárány, Shlosman y Szűcs. Por su parte, Matoušek Matoušek, Jiří (2007), Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.), Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00362-5, escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler. Seccion 4.3, pp. 162-163 presentó una demostración utilizando uniones eliminadas.
El teorema fue demostrado por Özaydin para el caso en que es una potencia de un número primo, y más tarde por Volovikov y Sarkaria.
Durante mucho tiempo se mantuvo una cuestión abierta sobre si el enunciado del teorema topológico de Tverberg también es válido para arbitrarios (es decir, que no sean potencias de un número primo). Sin embargo, en 2015 Frick observó que una síntesis del trabajo de Özaydin, el truco de Whitney para lóbulos de Mabillard y Wagner y el método de restricción de Blagojević, Ziegler y Frick conduce a contraejemplos.
Véase también Conjetura de la base de Rota (en inglés)
Referencias
Lecturas adicionales
Categoría:Teoremas en geometría convexa Categoría:Teoremas en geometría discreta Categoría:Teoría de transversales geométricas Categoría:Envolventes convexas