El teorema de Helly es un resultado fundamental en geometría discreta sobre la intersección de elementos convexos. Fue descubierto por Eduard Helly en 1913,. pero no lo publicó hasta 1923. Para entonces, ya habían aparecido demostraciones alternativas de y . El teorema de Helly dio lugar a la noción de familia de Helly.

Enunciado Sea una colección finita de subconjuntos convexos de , con . Si la intersección de cada de estos conjuntos no es vacía, entonces la colección completa tiene una intersección no vacía; es decir,

Para colecciones infinitas, es necesario suponer compacidad:

Sea una familia de subconjuntos convexos compactos de , tal que toda subfamilia de cardinalidad a lo sumo tiene intersección no vacía. Entonces, la familia completa tiene intersección no vacía.

Demostración Se demuestra la versión finita utilizando el lema de Radon, tal como en la demostración de . La versión infinita se deduce entonces de la caracterización de la compacidad mediante la propiedad de la intersección finita: una colección de subconjuntos cerrados de un espacio compacto tiene una intersección no vacía si y solo si toda subcolección finita tiene una intersección no vacía (una vez fijado un conjunto, la intersección de todos los demás con él son subconjuntos cerrados de un espacio compacto fijo).

La demostración se realiza mediante inducción:

Caso base: Sea . Según las hipótesis fijadas, para cada existe un punto que pertenece a la intersección común de todos los , con la posible excepción de . Ahora se aplica el lema de Radon al conjunto lo que proporciona subconjuntos disjuntos de tales que la envolvente convexa de interseca la envolvente convexa de . Supóngase que es un punto en la intersección de estas dos envolventes convexas. Se puede afirmar que

En efecto, considérse cualquier . Se demuestra que . Nótese que el único elemento de que podría no estar en es . Si , entonces y, por tanto, . Dado que es convexo, contiene también la envolvente convexa de y, en consecuencia, también . Del mismo modo, si , entonces y, siguiendo el mismo razonamiento, . Puesto que está en cada , debe estar también en la intersección.

Más arriba se ha supuesto que los puntos son todos distintos. Si este no fuera el caso —por ejemplo, si para algún —, entonces estaría en cada uno de los conjuntos y, de nuevo, se concluiría que la intersección no es vacía. Esto completa la demostración para el caso .

Paso inductivo: Supóngase que y que la afirmación es cierta para . El argumento anterior demuestra que cualquier subcolección de conjuntos tendrá una intersección no vacía. Se puede considerar entonces la colección en la que se sustituyen los dos conjuntos y por el único conjunto . En esta nueva colección, cualquier subcolección de conjuntos tendrá una intersección no vacía. Por tanto, se aplica la hipótesis de inducción, demostrando que esta nueva colección tiene una intersección no vacía. Esto implica lo mismo para la colección original y completa la demostración.

Demostración topológica del caso base

Sea y considérese el recubrimiento . Dado que la intersección de conjuntos convexos es convexa, toda intersección finita no vacía de elementos de es contráctil. Por consiguiente, es un buen recubrimiento.

Según el resultado básico del lema del nervio, es homotópicamente equivalente a la realización geométrica del nervio del recubrimiento. Suponiendo que

el nervio es el complejo de frontera del símplice formado por todas las caras . Por tanto, es homeomorfo a . De ello se deduce que

Esto supone una contradicción, ya que es una variedad de dimensión no compacta, y el grupo de homología superior de una variedad no compacta es nulo.

Teorema de Helly colorido El teorema de Helly colorido es una extensión del teorema de Helly en la que, en lugar de una sola colección, hay d+1 colecciones de subconjuntos convexos de .

Si para cada elección de una transversal —un conjunto de cada colección— existe un punto común a todos los conjuntos elegidos, entonces para al menos una de las colecciones existe un punto común a todos los conjuntos de dicha colección.

En sentido figurado, se puede considerar que las d+1 colecciones corresponden a d+1 colores diferentes. Entonces, el teorema afirma que si toda elección de un conjunto por color tiene una intersección no vacía, existe un color tal que todos los conjuntos de ese color tienen una intersección no vacía.

Teorema de Helly fraccionario Para todo a > 0 existe un b > 0 tal que, si son n subconjuntos convexos de y al menos una fracción a de las tuplas de d+1 conjuntos tiene un punto en común, entonces una fracción de al menos b de los conjuntos tiene un punto en común.

Véase también Teorema de Carathéodory Teorema de Doignon Teorema de Kirchberger Lema de Shapley–Folkman Teorema de Krein-Milman Teoría de Choquet Lema de Radon, y su generalización, Tverberg's theorem Teorema de la intersección de Cantor - otro teorema sobre la intersección de conjuntos Familia de Helly

Referencias

Bibliografía . . . Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, página 137, Krieger, Huntington . . . .

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