En el caso del cálculo infinitesimal con una sola variable, el cociente de diferencias es el nombre que suele darse a la expresión

que, al tomar el límite cuando h tiende a 0, proporciona la derivada de la función f. El nombre de la expresión proviene del hecho de que es el cociente de la diferencia de los valores de la función entre la diferencia de los valores correspondientes de su argumento (esta última es (x + h) - x = h en este caso). El cociente de diferencias es una medida del promedio de la tasa de cambio de la función sobre un intervalo (en este caso, un intervalo de longitud h). El límite del cociente de diferencias (es decir, la derivada) es, por tanto, la tasa de cambio instantánea.

Mediante un ligero cambio de notación (y de perspectiva), para un intervalo [a, b], el cociente de diferencias

se denomina valor medio (o promedio) de la derivada de f en el intervalo [a, b]. Este nombre se justifica por el teorema del valor medio, que establece que para una función diferenciable f, su derivada f′ alcanza su valor medio en algún punto del intervalo. Geométricamente, este cociente de diferencias mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)).

Los cocientes de diferencias se utilizan como aproximaciones en derivación numérica, pero también han sido objeto de críticas en esta aplicación.

Los cocientes de diferencias también pueden resultar relevantes en aplicaciones que involucran discretización temporal, donde la amplitud del paso temporal se utiliza como valor de h.

El cociente de diferencias también recibe a veces el nombre de cociente de Newton (en honor a Isaac Newton) o cociente de diferencias de Fermat (en honor a Pierre de Fermat).Donald C. Benson, A Smoother Pebble: Mathematical Explorations, Oxford University Press, 2003, p. 176.

Visión general La noción típica de cociente de diferencias analizada anteriormente es un caso particular de un concepto más general. El elemento fundamental de cálculo infinitesimal y de otras ramas de las matemáticas superiores es la function. Su "valor de entrada" es su *argumento*, generalmente un punto ("P") representable en un gráfico. La diferencia entre dos puntos se conoce como su Delta (ΔP), al igual que la diferencia en el resultado de la función; la notación específica viene determinada por la dirección de formación: Diferencia progresiva (o hacia adelante): ΔF(P) = F(P + ΔP) − F(P); Diferencia central: δF(P) = F(P + ΔP) − F(P − ΔP); Diferencia regresiva (o hacia atrás): ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP). Por lo general, se prefiere la orientación progresiva, ya que F(P) actúa como base a la que se suman las diferencias (es decir, los "ΔP"). Además,

Si |ΔP| es finito (es decir, medible), entonces ΔF(P) se conoce como diferencia finita, con las notaciones específicas DP y DF(P); Si |ΔP| es infinitesimal (una cantidad infinitamente pequeña ——, expresada habitualmente en el análisis estándar como un límite: ), entonces ΔF(P) se conoce como diferencia infinitesimal, con las notaciones específicas dP y dF(P) (en la representación gráfica del cálculo, el punto se identifica casi exclusivamente como "x" y F(x) como "y").

La diferencia de la función dividida por la diferencia del punto se conoce como "cociente de diferencias":

Si ΔP es infinitesimal, entonces el cociente de diferencias es una derivada; de lo contrario, es una diferencia dividida:

Definición del intervalo de puntos Independientemente de si ΔP es infinitesimal o finito, existe (al menos —teóricamente, en el caso de la derivada—) un intervalo de puntos cuyos límites son P ± (0,5) ΔP (dependiendo de la orientación: ΔF(P), δF(P) o ∇F(P)):

LB = Límite inferior; UB = Límite superior

Las derivadas pueden considerarse funciones en sí mismas, que a su vez poseen sus propias derivadas. Así, cada función alberga grados sucesivos (órdenes superiores) de derivación o diferenciación. Esta propiedad puede generalizarse a todos los cocientes de diferencias. Dado que esta secuenciación requiere una subdivisión correspondiente de los límites, resulta práctico dividir el intervalo de puntos en secciones más pequeñas de igual tamaño, marcando cada sección con un punto intermedio (Pi), donde LB = P0 y UB = Pń, siendo el punto n-ésimo igual al grado u orden:

LB = P0 = P0 + 0Δ1P = Pń − (Ń-0)Δ1P; P1 = P0 + 1Δ1P = Pń − (Ń-1)Δ1P; P2 = P0 + 2Δ1P = Pń − (Ń-2)Δ1P; P3 = P0 + 3Δ1P = Pń − (Ń-3)Δ1P; ↓ ↓ ↓ ↓ Pń-3 = P0 + (Ń-3)Δ1P = Pń − 3Δ1P; Pń-2 = P0 + (Ń-2)Δ1P = Pń − 2Δ1P; Pń-1 = P0 + (Ń-1)Δ1P = Pń − 1Δ1P; UB = Pń-0 = P0 + (Ń-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1;

ΔB = UB − LB = Pń − P0 = ΔńP = ŃΔ1P.

Cociente de diferencias primario (Ń = 1)

Como derivada El cociente incremental como derivada no requiere explicación, salvo señalar que, dado que P0 es esencialmente igual a P1 = P2 = ... = Pń (ya que las diferencias son infinitesimales), las expresiones en la notación de Leibniz y las derivadas no distinguen entre P y P0 o Pń:

Existen otras notaciones de la derivada, pero estas son las denominaciones estándar más reconocidas.

Como diferencia dividida Una diferencia dividida, sin embargo, sí requiere una mayor aclaración, ya que equivale a la derivada promedio entre LB y UB (inclusive):

En esta interpretación, Pã representa un valor promedio de P extraído de la función (valor medio del rango, aunque generalmente no es exactamente el punto medio). La valoración concreta depende de la función de promedio de la que se extrae. Más formalmente, Pã se encuentra en el teorema del valor medio del cálculo, que establece:

Para cualquier función continua en [LB,UB] y derivable en (LB,UB), existe algún Pã en el intervalo (LB,UB) tal que la recta secante que une los extremos del intervalo [LB,UB] es paralela a la recta tangente en Pã.

Esencialmente, Pã denota algún valor de P entre LB y UB; por tanto,

lo que vincula el resultado del valor medio con la diferencia dividida:

Dado que existe, por propia definición, una diferencia tangible entre LB/P0 y UB/Pń, las expresiones de Leibniz y las derivadas sí requieren la separación del argumento de la función.

Cocientes incrementales de orden superior

De segundo orden

De tercer orden

De orden n

Aplicación de la diferencia dividida La aplicación por excelencia de la diferencia dividida se encuentra en la presentación de la integral definida, que no es más que una diferencia finita:

Dado que la forma de expresión basada en el valor medio y la derivada proporciona la misma información que la notación integral clásica, dicha forma puede resultar preferible. Por ejemplo, en medios de escritura que solo admiten texto estándar ASCII o en casos que solo requieren la derivada promedio (como al hallar el radio promedio en una integral elíptica). Esto es especialmente cierto para integrales definidas que técnicamente tienen, por ejemplo, 0 y o como límites, obteniéndose la misma diferencia dividida que con límites en 0 y (lo que requiere menos esfuerzo de promediado):

Esto también resulta particularmente útil al tratar con integrales iteradas e integrales multiples (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL):

Por tanto,

y

Véase también Diferencias divididas Teoría de Fermat Interpolación polinómica de Newton Suma de Riemann Regla del cociente Cociente de diferencias simétrico

Referencias

Enlaces externos Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 El cociente de diferencias Universidad de Birmingham: Dirk Hermans—Diferencias divididas Mathworld: Diferencia dividida Teorema del valor medio Universidad de Wisconsin: Thomas W. Reps y Louis B. Rall — Cálculo computacional de diferencias divididas y aritmética de diferencias divididas Simulador interactivo sobre el cociente de diferencias para explicar la derivada

Categoría:Cálculo diferencial Categoría:Análisis numérico