En matemáticas, la integral de Nørlund-Rice, a veces llamada método de Rice, relaciona la n-ésima diferencia finita de una función con una integral de contorno en el plano complejo. Aparece comúnmente en la teoría de diferencias finitas y también se ha aplicado en ciencias de la computación y en teoría de grafos para estimar longitudes de árboles binarios. Recibe su nombre en honor a Niels Erik Nørlund y a Stephen O. Rice. La contribución de Nørlund consistió en definir la integral, mientras que Rice demostró su utilidad aplicando la técnica del punto de silla a su evaluación.

Definición La n-ésima diferencia finita de una función f(x) viene dada por

donde es el coeficiente binomial.

La integral de Nørlund-Rice viene dada por

donde se entiende que f es función meromorfa, α es un número entero, , y el contorno de integración rodea los polos situados en los enteros α, ..., n, pero no encierra los enteros 0, ..., ni ninguno de los polos de f. La integral también puede escribirse como

donde B(a,b) es la función beta de Euler. Si la función está acotada polinómicamente en el semiplano derecho del plano complejo, entonces el contorno puede extenderse hasta el infinito por la derecha, permitiendo escribir la transformada como

donde la constante c se encuentra a la izquierda de α.

Ciclo de Poisson-Mellin-Newton El ciclo de Poisson-Mellin-Newton, señalado por Flajolet et al. en 1985, consiste en la observación de que el parecido de la integral de Nørlund-Rice con la transformada de Mellin no es accidental, sino que están relacionados mediante la transformada binomial y las series de Newton. En este contexto, sea una sucesión, y sea g(t) la función generatriz correspondiente; es decir, sea

Al tomar su transformada de Mellin

es posible recuperar la secuencia original mediante la integral de Nörlund-Rice (véanse las referencias "Mellin, visto desde el cielo"):

donde Γ es la función gamma que se cancela con la función gamma del teorema maestro de Ramanujan.

Media de Riesz Una integral estrechamente relacionada aparece con frecuencia en el análisis de la media de Riesz. En términos muy generales, se puede decir que guarda relación con la integral de Nörlund-Rice de la misma manera que la fórmula de Perron se relaciona con la transformada de Mellin: en lugar de tratar con series infinitas, trabaja con series finitas.

Utilidad La representación integral de este tipo de series resulta interesante porque, a menudo, la integral puede evaluarse utilizando técnicas de serie asintótica o la técnica del punto de silla. Por el contrario, las series de diferencias progresivas pueden resultar extremadamente difíciles de evaluar numéricamente, ya que los coeficientes binomiales crecen rápidamente para valores grandes de n.

Véase también Tabla de series newtonianas

Referencias Niels Erik Nørlund, Vorlesungen uber Differenzenrechnung, (1954) Chelsea Publishing Company, Nueva York. Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, (1973), Vol. 3 Addison-Wesley. Philippe Flajolet y Robert Sedgewick, "Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals", Theoretical Computer Science 144 (1995) pp 101-124. * Peter Kirschenhofer, "", The Electronic Journal of Combinatorics, volumen 3 (1996), número 2, artículo 7. Philippe Flajolet, conferencia, "Mellin, visto desde el cielo", página 35.

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