En geometría algebraica, la dimensión de Kodaira mide el tamaño del modelo canónico de una variedad proyectiva .
El matemático soviético Ígor Shafarévich introdujo en un seminario un importante invariante numérico de superficies con la notación . Por su parte, el matemático japonés Shigeru Iitaka lo extendió, y además definió la dimensión de Kodaira para variedades de dimensión superior (bajo el nombre de dimensión canónica), y más tarde le dio el nombre de Kunihiko Kodaira.
Los plurigéneros El haz canónico de una variedad algebraica suave X de dimensión n sobre un cuerpo es el haz de rectas de n-formas,
que es el n-ésimo producto exterior del fibrado cotangente de X. Para un entero d, la d-ésima potencia tensorial de KX es, a su vez, un fibrado de rectas. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales posee la notable propiedad de ser un invariante birracional de variedades proyectivas suaves X. Es decir, este espacio vectorial se identifica canónicamente con el espacio correspondiente para cualquier variedad proyectiva suave que sea isomorfa a X salvo en subconjuntos de menor dimensión.
Para d ≥ 0, el d-ésimo plurigénero de X se define como la dimensión del espacio vectorial de secciones globales de :
Los plurigéneros son invariantes birracionales importantes de una variedad algebraica. En particular, la forma más sencilla de demostrar que una variedad no es racional (es decir, no birracional respecto al espacio proyectivo) es demostrar que algún plurigénero Pd con d > 0 no es cero. Si el espacio de secciones de es distinto de cero, entonces existe una aplicación racional natural de X al espacio proyectivo
llamada la d-aplicación canónica). El anillo canónico R(KX) de una variedad X es el anillo graduado
Véase también genus geométrico y genus aritmético.
La dimensión de Kodaira de X se define como si los plurigéneros Pd son cero para todo d > 0; de lo contrario, es el mínimo κ tal que Pd /dκ está acotado. La dimensión de Kodaira de una variedad n-dimensional es o un entero en el rango de 0 a n.
Interpretaciones de la dimensión de Kodaira Los siguientes números enteros son iguales si son no negativos. Una buena referencia es , Teorema 2.1.33.
La dimensión de la construcción Proy, , una variedad proyectiva llamada el modelo canónico de X, que depende únicamente de la clase de equivalencia birracional de X. Esto se define solo si el anillo canónico está finitamente generado, lo cual es cierto en característica cero y se conjetura que lo es en general. La dimensión de la imagen de la aplicación d-canónica para todos los múltiplos positivos d de algún entero positivo . El extensión transcendente del cuerpo de fracciones de R, menos uno; es decir, , donde t es el número de generadores independencia algebraica que se pueden encontrar. La tasa de crecimiento de los plurigéneros: es decir, el número más pequeño κ tal que está acotado. En notación O grande, es el κ mínimo tal que .
Cuando uno de estos números no está definido o es negativo, todos ellos lo son. En este caso, se dice que la dimensión de Kodaira es negativa o . Algunas referencias históricas la definen como −1, pero entonces la fórmula no siempre se cumple y el enunciado de la conjetura de Iitaka se vuelve más complicado. Por ejemplo, la dimensión de Kodaira de es para todas las variedades X.
Aplicación La dimensión de Kodaira proporciona una división aproximada y útil de todas las variedades algebraicas en varias clases.
Las variedades con baja dimensión de Kodaira pueden considerarse especiales, mientras que se dice que las variedades de dimensión de Kodaira máxima son de tipo general.
Geométricamente, existe una correspondencia muy aproximada entre la dimensión de Kodaira y la curvatura: una dimensión de Kodaira negativa corresponde a una curvatura positiva, una dimensión de Kodaira cero corresponde a la planitud y una dimensión de Kodaira máxima (tipo general) corresponde a una curvatura negativa.
El carácter especial de las variedades de dimensión de Kodaira baja es análogo al carácter especial de las variedades de Riemann de curvatura positiva (mientras que el tipo general corresponde a la genericidad de la curvatura no positiva); véanse los teoremas clásicos, especialmente en lo relativo a la curvatura seccional acotada y a la curvatura positiva.
Estas afirmaciones se precisan a continuación.
Dimensión 1 Las curvas proyectivas lisas se clasifican discretamente por genus, que puede ser cualquier número natural g = 0, 1, ....
Aquí, "clasificadas discretamente" significa que, para un género dado, existe un espacio de módulos irreducible de curvas de ese género.
La dimensión de Kodaira de una curva X es: κ = : género 0 (la recta proyectiva P1): KX no es efectivo, Pd = 0 para todo d > 0. κ = 0: género 1 (curva elípticas): KX es un fibrado, Pd = 1 para todo d ≥ 0. κ = 1: género g ≥ 2: KX es amplio, Pd = (2d − 1)(g − 1) para todo d ≥ 2.
Compárese con el teorema de uniformización para superficies (superficies reales, dado que una curva compleja tiene dimensión real 2): la dimensión de Kodaira corresponde a curvatura positiva, la dimensión de Kodaira 0 corresponde a planitud y la dimensión de Kodaira 1 corresponde a curvatura negativa. Nótese que la mayoría de las curvas algebraicas son de tipo general: en el espacio de módulos de las curvas, dos componentes conexas corresponden a curvas que no son de tipo general, mientras que todas las demás componentes corresponden a curvas de tipo general. Además, el espacio de curvas de género 0 es un punto, el espacio de curvas de género 1 tiene dimensión (compleja) 1 y el espacio de curvas de género g ≥ 2 tiene dimensión 3g − 3.
{|class="wikitable" ! colspan="3"| Tabla de clasificación de las curvas algebraicas |- ! rowspan="2"|Dimensión de Kodaira κ(C) |- ! Genus de C : g(C) ! Estructura |- !
| Curva tipo general |- !
| Curva elíptica |- !
| Recta proyectiva
Dimensión 2 La lista de Enriques-Kodaira clasifica las superficies algebraicas: de forma general según la dimensión de Kodaira y, posteriormente, con mayor detalle dentro de una dimensión de Kodaira dada. Por citar algunos ejemplos sencillos: el producto P1 × X tiene dimensión de Kodaira para cualquier curva X; el producto de dos curvas de género 1 (una superficie abeliana) tiene dimensión de Kodaira 0; el producto de una curva de género 1 con una curva de género al menos 2 (una superficie elíptica) tiene dimensión de Kodaira 1; y el producto de dos curvas de género al menos 2 tiene dimensión de Kodaira 2 y, por tanto, es de tipo general.
{|class="wikitable" ! colspan="4"| Tabla de clasificación de las superficies algebraicas |- ! rowspan="2"|Dimensión de Kodaira κ(C) |- ! Genus geométrico pg ! Irregularidad q ! Estructura |- !
| Superficie de tipo general |- !
| Superficie elíptica |- ! rowspan="4"|
| Superficie abeliana
| Superficie hiperelíptica
| Superficie K3
| Superfice de Enriques |- ! rowspan="2"|
| Superficie reglada
| Superficie racional
Para una superficie X de tipo general, la imagen de la aplicación d-canónica es birracional a X si d ≥ 5.
Cualquier dimensión Las variedades racionales (variedades birracionales al espacio proyectivo) tienen dimensión de Kodaira . Las variedades abelianas (los toros complejos compactos que son proyectivos) tienen dimensión de Kodaira cero. Más generalmente, las variedades de Calabi-Yau (en dimensión 1, las curvas elípticas; en dimensión 2, las superficies abelianas, las superficies K3 y los cocientes de dichas variedades por grupos finitos) tienen dimensión de Kodaira cero (lo que corresponde a admitir métricas de Ricci-planas).
Cualquier variedad en característica cero que esté recubierta por curvas algebraicas (aplicaciones no constantes desde P1), llamada variedad unirreglada, tiene dimensión de Kodaira −∞. Recíprocamente, las conjeturas principales de la teoría de modelos minimales (notablemente la conjetura de abundancia) implicarían que toda variedad de dimensión de Kodaira −∞ es unirreglada. Este recíproco se conoce para variedades de dimensión a lo sumo 3.
demostró la invarianza de los plurigéneros bajo deformaciones para todas las variedades proyectivas complejas suaves. En particular, la dimensión de Kodaira no cambia cuando la estructura compleja de la variedad se modifica de forma continua.
{|class="wikitable" ! colspan="4"| Tabla de clasificación de las variedades algebraicas de tres lóbulos |- ! rowspan="2"|Dimensión de Kodaira κ(C) |- ! Genus geométrico pg ! Irregularidad q ! Ejemplos |- !
| Tres lóbulos de tipo general |- !
| Fibración sobre una superficie con fibra general una curva elíptica |- !
| Fibración sobre una curva con fibra general una superficie con κ= 0 |- ! rowspan="4"|
| Variedad abeliana
| Fibrado sobre una superficie abeliana cuyas fibras son curvas elípticas |- | o
| Fibrado sobre una curva elíptica cuyas fibras son superficies con κ= 0 |- | o
| Calabi–Yau de 3-lóbulos |- ! rowspan="2"|
| Unirreglada de 3-lóbulos
| Racional de 3-lóbulos, Fano de 3-lóbulos, y otras
Una fibración de variedades proyectivas normales X → Y se define como un morfismo sobreyectivo con fibras conexas.
Para una variedad de 3 lóbulos X de tipo general, la imagen de la aplicación d-canónica es birracional a X si d ≥ 61.J. A. Chen and M. Chen, Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type III, Theorem 1.4.
Tipo general
Una variedad X de tipo general es aquella que posee la dimensión de Kodaira máxima (dimensión de Kodaira igual a su propia dimensión):
Condiciones equivalentes son que el haz de rectas sea grande, o que la aplicación d-canónica sea genéricamente inyectiva (es decir, una aplicación birracional a su imagen) para un d suficientemente grande.
Por ejemplo, una variedad con haz canónico amplio es de tipo general.
En cierto sentido, la mayoría de las variedades algebraicas son de tipo general. Por ejemplo, una hipersuperficie suave de grado d en el espacio proyectivo de dimensión n es de tipo general si y solo si . En ese sentido, la mayoría de las hipersuperficies lisas en el espacio proyectivo son de tipo general.
Las variedades de tipo general parecen demasiado complicadas para clasificarlas explícitamente, incluso en el caso de superficies. No obstante, existen resultados positivos sólidos sobre las variedades de tipo general. Por ejemplo, Enrico Bombieri demostró en 1973 que la aplicación d-canónica de cualquier superficie compleja de tipo general es birracional para todo . Más generalmente, Christopher Hacon y James McKernan, Shigeharu Takayama y Hajime Tsuji demostraron en 2006 que, para todo entero positivo n, existe una constante tal que la aplicación d-canónica de cualquier variedad compleja de dimensión n de tipo general es birracional cuando .
El grupo de automorfismos birracionales de una variedad de tipo general es finito.
Aplicación a la clasificación