En matemáticas, una superficie K3 analítica compleja es una variedad compleja compacta y conexa de dimensión 2 con un haz canónico trivial y cero irregularidades. Una superficie K3 (algebraica) sobre cualquier cuerpo se refiere a una superficie algebraica suave, propia y geométricamente conexa, que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira, las superficies K3 constituyen una de las cuatro clases de superficies minimales de dimensión de Kodaira cero. Un ejemplo sencillo es la superficie cuártica de Fermat en el espacio proyectivo complejo tridimensional.
Junto con los toros complejos compactos bidimensionales, las superficies K3 son variedades de Calabi-Yau (y también son variedades hiperkähler) de dimensión dos. Como tales, ocupan un lugar central en la clasificación de superficies algebraicas, situándose entre las superficies de del Pezzo de curvatura positiva (que son fáciles de clasificar) y las superficies de curvatura negativa de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas, y en las que, sin embargo, es posible alcanzar una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene dimensión real 4 y desempeña un papel importante en el estudio de las 4-variedades suaves. Las superficies K3 se han aplicado al álgebra de Kac-Moody, a la simetría especular y a la teoría de cuerdas.
Puede resultar útil considerar las superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no presentan tales deformaciones no algebraicas.
Definición Existen varias formas equivalentes de definir las superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con haz canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos. Por lo tanto, se puede añadir cualquier condición que excluya a estos últimos para definir las superficies K3. Por ejemplo, es equivalente definir una superficie K3 analítica compleja como una variedad compleja compacta simplemente conexa de dimensión 2 que posee una 2-forma holomorfa que no se anula en ningún punto (esta última condición indica precisamente que el haz canónico es trivial).
También existen algunas variantes de la definición. En el cuerpo de los números complejos, algunos autores consideran únicamente las superficies K3 algebraicas (una superficie K3 algebraica es automáticamente proyectivaHuybrechts (2016), Remark 1.1.2 compacta y conexa). O bien, se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades de du Val (singularidades canónicas de dimensión 2), en lugar de ser lisas.
Cálculo de los números de Betti Los números de Betti de una superficie K3 analítica compleja se calculan de la siguiente manera.Huybrechts (2016), section 2.3. (un argumento similar da el mismo resultado para los números de Betti de una superficie K3 algebraica sobre cualquier cuerpo, definida usando cohomoñogía l-ádica). Por definición, el haz canónico es trivial, y la irregularidad q(X) (la dimensión del grupo de cohomología de haces coherentes ) es cero. Por la dualidad de Serre,
Como resultado, el género aritmético (o característica de Euler holomorfa) de X es:
Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) establece:
donde es la i-ésimo clase de Chern del fibrado tangente. Dado que es trivial, su primera clase de Chern es cero, y por lo tanto .
A continuación, la sucesión exponencial proporciona un sucesión exacta de grupos de cohomología , y por tanto . Así, el número de Betti es cero y, por la dualidad de Poincaré, también es cero. Finalmente, es igual a la característica de Euler topológica
Dado que y , se deduce que .Huybrechts (2016), section 2.4.
Propiedades
Ejemplos El recubrimiento doble X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva séxtica (grado 6) suave es una superficie K3 de género 2 (es decir, grado 2g−2 = 2). Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en es una curva suave de genus 2. Una superficie cuártica (grado 4) suave en es una superficie K3 de género 3 (es decir, grado 4). Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana A bidimensional por la acción . Esto da lugar a 16 singularidades, en los puntos de 2-torsión de A. La resolución mínima de esta superficie singular también puede denominarse superficie de Kummer. Dicha resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva de género 2, Kummer demostró que el cociente puede embeberse en como una superficie cuártica con 16 nodos. Más generalmente: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades de tipo du Val, la resolución mínima de Y es una superficie K3 algebraica. La intersección de una cuádrica y una cúbica en es una superficie K3 de género 4 (es decir, grado 6). La intersección de tres cuádricas en es una superficie K3 de género 5 (es decir, grado 8). La intersección completa de dos formas bihomogéneas de grados dobles y en es una superficie K3, típicamente de rango de Picard 2. Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades de du Val en espacios proyectivos ponderados.; .
Retículo de Picard El grupo de Picard Pic(X) de una superficie K3 analítica compleja X es el grupo abeliano de fibrados de rectas analíticas complejas sobre X. Para una superficie K3 algebraica, Pic(X) es el grupo de fibrados de rectas algebraicos sobre X. Ambas definiciones coinciden para una superficie K3 algebraica compleja, según el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre.
El grupo de Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre finitamente generado; su rango se denomina número de Picard . En el caso complejo, Pic(X) es un subgrupo de . Una característica importante de las superficies K3 es que pueden presentar muchos números de Picard diferentes. Si X es una superficie K3 algebraica compleja, puede ser cualquier entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo, también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene ninguna curva compleja cerrada. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas). Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, existe una clase especial de superficies K3, las superficies K3 supersingulares, con número de Picard 22.
El retículo de Picard de una superficie K3 es el grupo abeliano Pic(X) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en los números enteros. Sobre , la forma de intersección es la restricción de la forma de intersección en . Sobre un cuerpo general, la forma de intersección puede definirse utilizando la teoría de la intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo de Picard con el grupo de clases de divisores. El retículo de Picard de una superficie K3 es siempre par, lo que significa que el entero es par para cada .
El teorema del índice de Hodge implica que el retículo de Picard de una superficie K3 algebraica tiene signatura . Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su retículo de Picard, considerado como una forma bilineal simétrica sobre los enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de las superficies K3 y la aritmética de las formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie K3 analítica compleja es algebraica si y solo si existe un elemento con .Barth et al. (2004), Theorem 6.1.
En términos generales, el espacio de todas las superficies K3 analíticas complejas tiene dimensión compleja 20, mientras que el espacio de las superficies K3 con número de Picard tiene dimensión (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies K3 algebraicas aparecen en familias de dimensión 19. A continuación se ofrecen más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3.
La descripción precisa de qué retículos pueden aparecer como retículos de Picard de superficies K3 es compleja. Una afirmación clara, debida a Viacheslav Nikulin y David Morrison, es que todo retículo par de signatura con es el retículo de Picard de alguna superficie K3 proyectiva compleja.Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7. El espacio de tales superficies tiene dimensión .
Superficies K3 elípticas Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, está constituida por las superficies K3 con una superficie elíptica . Elíptica significa que todas las fibras de este morfismo, salvo un número finito, son curvas suaves de género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales, y los tipos posibles de fibras singulares están clasificados por Kodaira. Siempre existen fibras singulares, ya que la suma de las características de Euler topológicas de dichas fibras es 24. Una superficie K3 elíptica genérica tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de tipo (una curva cúbica nodal).Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.
Si una superficie K3 es elíptica o no, puede determinarse a partir de su retículo de Picard. Concretamente, en característica distinta de 2 o 3, una superficie K3 X posee una fibración elíptica si y solo si existe un elemento no nulo tal que .Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3. En característica 2 o 3, esta última condición también puede corresponder a una fibración cuasielíptica. De ello se deduce que poseer una fibración elíptica es una condición de codimensión 1 para una superficie K3. Por tanto, existen familias de dimensión 19 de superficies K3 analíticas complejas con fibración elíptica, y espacios de módulos de dimensión 18 de superficies K3 proyectivas con fibración elíptica.
Ejemplo: Toda superficie cuártica suave X en que contenga una recta L posee una fibración elíptica , definida mediante la proyección desde L. El espacio de módulos de todas las superficies cuárticas suaves (salvo isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuárticas que contienen una recta tiene dimensión 18.
Curvas racionales en superficies K3 A diferencia de las variedades de curvatura positiva, como las superficies de del Pezzo, una superficie K3 algebraica compleja X no es unirreglada; es decir, no está recubierta por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades de curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que toda curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales.Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.
Otro contraste con las variedades de curvatura negativa es que la métrica de Kobayashi en una superficie K3 analítica compleja X es idénticamente cero. La demostración utiliza el hecho de que una superficie K3 algebraica X siempre está recubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas.Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2. Estas curvas son singulares en X, a menos que X resulte ser una superficie K3 elíptica. Una cuestión más fuerte que permanece abierta es si toda superficie K3 compleja admite una aplicación holomorfa no degenerada desde (donde "no degenerada" significa que la derivada de la aplicación es un isomorfismo en algún punto).Huybrechts (2016), section 13.0.3.
Aplicación de periodos