En matemáticas, un punto de Weierstrass en una curva algebraica no singular definido sobre los números complejos es un punto tal que existen más funciones en , con sus polos restringidos solo a , de las que predice el teorema de Riemann-Roch.

El concepto recibe su nombre del matemático alemán Karl Weierstraß (1815-1897).

Análisis Considérense los espacios vectoriales:

donde es el espacio de funciones meromorfas en cuyo orden en es al menos y sin otros polos. Se conocen tres aspectos: la dimensión es al menos 1, debido a las funciones constantes en ; es no decreciente; y, según el teorema de Riemann-Roch, la dimensión finalmente aumenta exactamente en 1 al desplazarse hacia la derecha. De hecho, si es el genus de , se sabe que la dimensión del término es:

para

El conocimiento de la secuencia es, por lo tanto:

Lo que se sabe sobre la característica principal de las entradas indicadas con es que pueden incrementarse como máximo en 1 cada vez (este es un argumento sencillo: tiene dimensión como máximo 1 porque si y tienen el mismo orden de polo en , entonces tendrá un polo de orden inferior si se elige la constante para cancelar el término principal). Aquí hay signos de interrogación, por lo que los casos o no requieren mayor discusión y no generan puntos de Weierstrass.

Supóngase, por lo tanto, que . Habrá pasos ascendentes y pasos sin incremento. Un punto no Weierstrass de se produce cuando todos los incrementos están lo más a la derecha posible; es decir, la secuencia tiene la forma:

En cualquier otro caso, se trata de un punto de Weierstrass. Una brecha de Weierstrass para es un valor de tal que ninguna función en tiene exactamente un polo -ésimo en únicamente. La secuencia de la brecha es:

para un punto que no sea de Weierstrass. Para un punto de Weierstrass, contiene al menos un número mayor (el teorema de la brecha de Weierstrass o Lückensatz afirma que deben existir brechas.)

Para curvas hiperelíptica, por ejemplo, se puede tener una función con un polo doble únicamente en . Sus potencias tienen polos de orden , y así sucesivamente. Por lo tanto, un tiene la secuencia de huecos:

En general, si la secuencia de huecos es:

el peso del punto de Weierstrass es:

Esto se introduce debido a un teorema de conteo: en una superficie de Riemann, la suma de los pesos de los puntos de Weierstrass es .

Por ejemplo, un punto de Weierstrass hiperelíptico, como el anterior, tiene un peso . Por lo tanto, hay (como máximo) de ellos. Los puntos de ramificación del recubrimiento ramificado de grado dos, desde una curva hiperelíptica sobre la recta proyectiva, son todos puntos de Weierstrass hiperelípticos, y estos agotan todos los puntos de Weierstrass en una curva hiperelíptica de género .

Se obtiene información adicional sobre las brechas al aplicar teorema de Clifford. La multiplicación de funciones confiere a las no brechas una estructura de semigrupo numérico, y una antigua pregunta de Adolf Hurwitz solicitaba una caracterización de los semigrupos que aparecen. R. O. Buchweitz halló una nueva condición necesaria en 1980 y proporcionó un ejemplo de semigrupo de los enteros no negativos con 16 brechas que no aparece como el semigrupo de no brechas en un punto de una curva de género 16 (véase). En 1939, F. K. Schmidt definió el punto de Weierstrass para una curva no singular sobre un cuerpo de característica positiva.

Característica positiva En términos más generales, para una curva algebraica no singular definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica , la secuencia de brechas para todos los puntos, salvo un número finito de ellos, es una secuencia fija . Estos puntos se denominan puntos no de Weierstrass. Todos los puntos de cuya secuencia de brechas es diferente se denominan puntos de Weierstrass.

Si es menor o igual que la curva, entonces la curva se denomina curva clásica. En caso contrario, se denomina curva no clásica. En característica cero, todas las curvas son clásicas.

Las curvas hermíticas son un ejemplo de curvas no clásicas. Estas son curvas proyectivas definidas sobre el cuerpo finito mediante la ecuación , donde es una potencia de un número primo.

Referencias

Bibliografía

Voskresenskii, V.E. (2001) , «Weierstrass point», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Categoría:Curvas algebraicas Categoría:Superficie de Riemann