Una sucesión de van der Corput es un ejemplo de la sucesión de baja discrepancia unidimensional más simple sobre el intervalo unidad. Fue descrita en 1935 por el matemático neerlandés Johannes van der Corput. Se construye invirtiendo la representación en base-n de la sucesión de los números naturales (1, 2, 3, ).
La representación -aria del entero positivo es:
donde es la base en la que se representa el número , y es el dígito -ésimo en la expansión -aria de .
El número -ésimo en la sucesión de van der Corput es:
Ejemplos Por ejemplo, para obtener la sucesión de van der Corput en el sistema de numeración decimal, se comienza dividiendo los números del 1 al 9 en décimas (), luego se cambia el denominador a 100 para comenzar a dividir en centésimas (). En cuanto al numerador, se comienza con todos los números de dos dígitos del 10 al 99, pero en orden inverso. Por lo tanto, se obtendrán los numeradores agrupados por el último dígito. Primero, todos los numeradores de dos dígitos que terminan en 1, por lo que los siguientes numeradores son 01, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91. Luego, los numeradores que terminan en 2, que son 02, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Y después, los numeradores que terminan en 3: 03, 13, 23, y así sucesivamente...
Por lo tanto, la sucesión comienza así:
o en representación decimal:
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.01, 0.11, 0.21, 0.31, 0.41, 0.51, 0.61, 0.71, 0.81, 0.91, 0.02, 0.12, 0.22, 0.32, ,
Lo mismo se puede hacer para el sistema binario, y la sucesión binaria de van der Corput es:
0.12, 0.012, 0.112, 0.0012, 0.1012, 0.0112, 0.1112, 0.00012, 0.10012, 0.01012, 0.11012, 0.00112, 0.10112, 0.01112, 0.11112,
o, equivalentemente,
Los elementos de la sucesión de van der Corput (en cualquier base) forman un conjunto denso en el intervalo unitario; es decir, para cualquier número real en , existe una subsucesión de la sucesión de van der Corput que converge a ese número. También están equidistribuidos sobre el intervalo unitario.
Código en Python
def corput(n, base: int) -> float: """ Devuelve el n-ésimo elemento de la sucesión de van der Corput en una base dada. """ output= 0.0 output_increment= 1 / base while n > 0: # Procesar el dígito menos significativo de la posición n de la sucesión # para obtener el dígito más significativo de la salida. least_significant_digit= n % base output += least_significant_digit * output_increment
# elimina el dígito menos significativo de la posición de la sucesión n //= base # mueve el incremento de salida al siguiente dígito output_increment /= base return output
Véase también Permutación de inversión de bits Sucesión de baja discrepancia Sucesión de Halton, una generalización natural de la sucesión de van der Corput a dimensiones superiores
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Van der Corput sequence at MathWorld
Categoría:Aproximación diofántica Categoría:Sucesiones