En álgebra, los polinomios de Brahmagupta son una clase de polinomios asociados a la matriz de Brahmagupta, que a su vez está asociada a la identidad de Brahmagupta. El concepto y la terminología fueron introducidos por E. R. Suryanarayan, de la Universidad de Rhode Island en Kingston, en un artículo publicado en 1996. Estos polinomios poseen varias propiedades interesantes y han encontrado aplicaciones en problemas de teselado(In the proceedings, see paper authored by R. Rangarajan and E. R. Suryanarayan and titled "The Brahmagupta Matrix and its applications") y en el problema de determinar triángulos heronianos en los que las longitudes de los lados son enteros consecutivos. Reciben su nombre del matemático indio del siglo VII Brahmagupta.
Definición Identidad de Brahmagupta La identidad de Brahmagupta establece que, para un número entero dado , el producto de dos números de la forma es nuevamente un número de la misma forma. Más precisamente, se tiene que:
Esta identidad puede utilizarse para generar infinitas soluciones para la ecuación de Pell. También puede utilizarse para generar sucesivamente mejores aproximaciones racionales para raíces cuadradas de enteros arbitrarios.
Matriz de Brahmagupta Si, para un número real arbitrario , se define la matriz:
Entonces, la identidad de Brahmagupta puede expresarse de la siguiente forma:
La matriz se denomina «matriz de Brahmagupta».
Polinomios de Brahmagupta Sea como se indicó anteriormente. Entonces, por inducción, se puede observar que la matriz se puede escribir de la forma:
Aquí, e son polinomios en , y . Estos polinomios se denominan «polinomios de Brahmagupta». Los primeros polinomios se enumeran a continuación:
Propiedades Aquí se resumen algunas propiedades elementales de los polinomios de Brahmagupta. Propiedades más avanzadas se discuten en el artículo de Suryanarayan.
Relaciones de recurrencia Los polinomios e satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:
Expresiones exactas Los valores propios de son y los vectores propios correspondientes son Por lo tanto,
Se deduce que
Esto produce las siguientes expresiones exactas para e :
Al expandir las potencias en las expresiones exactas anteriores usando el teorema del binomio y simplificando, se obtienen las siguientes expresiones para e :
Casos especiales
Si y son iguales, entonces, para : es la secuencia Sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... es la sucesión de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... Si se define y , entonces: , que son los numeradores de la fracción continua generalizada, que converge a , y es también la sucesión de las semisumas de los números de Pell-Lucas consecutivos. , que es la secuencia de los números de Pell.
Ecuación diferencial e son soluciones polinómicas de la siguiente ecuación en derivadas parciales:
Referencias
Categoría:Polinomios Categoría:Polinomios homogéneos Categoría:Brahmagupta Categoría:Matrices