En matemáticas, los conjuntos cilíndricos forman una base de la topología producto en un producto de conjuntos; también son una familia generadora de la σ-álgebra cilíndrica. Definición general
Dada una colección de conjuntos, consideremos el producto cartesiano de todos los conjuntos de la colección. La «proyección canónica» correspondiente a algún es la función que mapea cada elemento del producto a su componente . Un conjunto cilíndrico es una preimagen de una proyección canónica o una intersección finita de tales preimágenes. Explícitamente, es un conjunto de la forma
para cualquier elección de , secuencia finita de conjuntos y subconjuntos para .
Entonces, cuando todos los conjuntos en son espacios topológicos, la topología producto es generada por conjuntos cilíndricos correspondientes a los conjuntos abiertos de los componentes. Es decir, cilindros de la forma donde, para cada , es abierto en . De la misma manera, en el caso de los espacios medibles, la álgebra σ cilíndrica es la que es generada por conjuntos cilíndricos correspondientes a los conjuntos medibles de los componentes.
La restricción de que el conjunto cilíndrico sea la intersección de un número «finito» de cilindros abiertos es importante; permitir intersecciones infinitas generalmente da como resultado una topología más fina. En este último caso, la topología resultante es la topología de caja; los conjuntos cilíndricos nunca son cubos de Hilbert. Conjuntos cilíndricos en productos de conjuntos discretos Sea un conjunto finito que contiene n objetos o letras. La colección de todas las cadenas bi-infinitas en estas letras se denota por
La topología natural en es la topología discreta. Los conjuntos abiertos básicos en la topología discreta consisten en letras individuales; por lo tanto, los cilindros abiertos de la topología producto en son
Las intersecciones de un número finito de cilindros abiertos son los «conjuntos cilíndricos»
Los conjuntos cilíndricos son conjuntos clopen. Como elementos de la topología, los conjuntos cilíndricos son, por definición, conjuntos abiertos. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, pero el complemento de un conjunto cilíndrico es una unión de cilindros, por lo que los conjuntos cilíndricos también son cerrados y, por lo tanto, clopen. Definición para espacios vectoriales
Dado un espacio vectorial de dimensión finita o infinita sobre un campo campo K (como los números reales o complejos), los conjuntos cilíndricos pueden definirse como
donde es un conjunto de Borel en , y cada es una función lineal en ; es decir, , el espacio dual algebraico de . Cuando se trata de espacios vectoriales topológicos, la definición se establece en cambio para los elementos , el espacio dual continuo. Es decir, las funcionales se consideran funcionales lineales continuas. Véase también Filtro (teoría de conjuntos): familia de subconjuntos que representan conjuntos «grandes». Filtros en topología: uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. Álgebra σ cilíndrica Proyección (teoría de conjuntos) Ultraproducto: construcción matemática.
Referencias
Categoría:Topología general Categoría:Teoría de la medida