En física y relatividad general, el corrimiento al rojo gravitacional o desplazamiento al rojo gravitacional (conocido como "desplazamiento de Einstein" en la literatura antigua) es el fenómeno por el cual las ondas electromagnéticas o fotones que viajan fuera de un pozo gravitacional pierden energía. Esta pérdida de energía corresponde a una disminución en la frecuencia de la onda y un aumento en la longitud de onda, conocido más generalmente como "desplazamiento al rojo". El efecto opuesto, en el que los fotones ganan energía al viajar hacia un pozo gravitacional, se conoce como desplazamiento al azul gravitacional (un tipo de "desplazamiento al azul"). El efecto fue descrito por primera vez por Einstein en 1907, ocho años antes de la publicación de la teoría completa de la relatividad.
El corrimiento al rojo gravitacional puede interpretarse como una consecuencia del principio de equivalencia (los efectos gravitacionales son localmente equivalentes a los efectos inerciales y el desplazamiento al rojo es causado por el efecto Doppler) o como una consecuencia de la equivalencia masa-energía y la conservación de la energía (los fotones que «caen» ganan energía), aunque existen numerosas sutilezas que complican una derivación rigurosa. El desplazamiento al rojo gravitacional también puede interpretarse de manera equivalente como dilación temporal gravitacional en la fuente de radiación: si dos osciladores (conectados a transmisores que producen radiación electromagnética) operan a diferentes potenciales gravitacionales, el oscilador en el potencial gravitacional más alto (más lejos del cuerpo atractivo) marcará más rápido; es decir, cuando se observa desde la misma ubicación, tendrá una frecuencia medida más alta que el oscilador en el potencial gravitacional más bajo (más cerca del cuerpo atractivo).
A primera aproximación, el desplazamiento al rojo gravitacional es proporcional a la diferencia en potencial gravitacional dividida por la velocidad de la luz al cuadrado, , lo que resulta en un efecto muy pequeño. La luz que escapa de la superficie del Sol fue predicha por Einstein en 1911 para desplazarse al rojo en aproximadamente 2 ppm o 2 × 10−6. Las señales de navegación de los satélites GPS que orbitan a de altitud se perciben desplazadas al azul en aproximadamente 0.5 ppb o 5 × 10−10, lo que corresponde a un aumento (insignificante) de menos de 1 Hz en la frecuencia de una señal de radio GPS de 1.5 GHz (sin embargo, la dilación temporal gravitacional que afecta al reloj atómico en el satélite es crucialmente importante para una navegación precisa). En la superficie de la Tierra, el potencial gravitacional es proporcional a la altura, , y el desplazamiento al rojo correspondiente es aproximadamente 10−16 (0.1 partes por cuatrillón) por metro de cambio en elevación y/o altitud.
En astronomía, la magnitud del desplazamiento al rojo gravitacional a menudo se expresa como la velocidad que crearía un desplazamiento equivalente a través del efecto Doppler relativista. En estas unidades, el desplazamiento al rojo de 2 ppm de la luz solar corresponde a una velocidad de recesión de 633 m/s, aproximadamente de la misma magnitud que los movimientos convectivos en el Sol, lo que complica la medición. La velocidad equivalente del desplazamiento al azul gravitacional de los satélites GPS es inferior a 0.2 m/s, lo que es insignificante en comparación con el desplazamiento Doppler real resultante de su velocidad orbital. En objetos astronómicos con campos gravitacionales fuertes, el desplazamiento al rojo puede ser mucho mayor; por ejemplo, la luz de la superficie de una enana blanca se desplaza al rojo gravitacionalmente en promedio alrededor de (50 km/s)/c (alrededor de 170 ppm).
Observar el desplazamiento al rojo gravitacional en el sistema solar es una de las pruebas clásicas de la relatividad general. Medir el desplazamiento al rojo gravitacional con alta precisión con relojes atómicos puede servir como una prueba de la simetría de Lorentz y guiar las búsquedas de materia oscura.
Predicción por el principio de equivalencia y la relatividad general Campo gravitacional uniforme o aceleración La teoría de la relatividad general de Einstein incorpora el principio de equivalencia, que puede enunciarse de varias maneras. Una de estas es que los efectos gravitacionales son localmente indetectables para un observador en caída libre. Por lo tanto, en un experimento de laboratorio en la superficie de la Tierra, todos los efectos gravitacionales deberían ser equivalentes a los efectos que se observarían si el laboratorio estuviera acelerando a través del espacio exterior a g. Una consecuencia es un efecto Doppler gravitacional. Si se emite un pulso de luz en el suelo del laboratorio, un observador en caída libre diría que para cuando llega al techo, el techo se ha alejado aceleradamente de él, y por lo tanto, cuando es observado por un detector fijo en el techo, se observará que se ha desplazado Doppler hacia el extremo rojo del espectro. Este desplazamiento, que el observador en caída libre considera un desplazamiento Doppler cinemático, es considerado por el observador del laboratorio como un desplazamiento al rojo gravitacional. Este efecto fue verificado en el experimento de Pound–Rebka de 1959. En un caso como este, donde el campo gravitacional es uniforme, el cambio en la longitud de onda se da por
donde es el cambio en altura. Dado que esta predicción surge directamente del principio de equivalencia, no requiere del aparato matemático de la relatividad general, y su verificación no apoya específicamente la relatividad general sobre cualquier otra teoría que incorpore el principio de equivalencia.
En la superficie de la Tierra (o en una nave espacial acelerando a 1 g), el desplazamiento al rojo gravitacional es aproximadamente 1.1×10−16 , el equivalente a un desplazamiento Doppler de 3.3×10−8 m/s por cada 1 m de altitud.
Campo gravitacional simétrico esférico Cuando el campo no es uniforme, el caso más simple y útil a considerar es el de un campo simétrico esférico. Según el teorema de Birkhoff, tal campo se describe en la relatividad general por la métrica de Schwarzschild, , donde es el tiempo del reloj de un observador a una distancia R del centro, es el tiempo medido por un observador en el infinito, es el radio de Schwarzschild , "..." representa términos que desaparecen si el observador está en reposo, es la constante gravitacional de Newton, la masa del cuerpo gravitacional, y la velocidad de la luz. El resultado es que las frecuencias y longitudes de onda se desplazan según la proporción
donde es la longitud de onda de la luz medida por el observador en el infinito, es la longitud de onda medida en la fuente de emisión, y es el radio en el que se emite el fotón.
Esto puede relacionarse con el parámetro de desplazamiento al rojo definido convencionalmente como .
En el caso en que ni el emisor ni el observador estén en el infinito, la transitividad de los desplazamientos Doppler permite generalizar el resultado a . La fórmula del desplazamiento al rojo para la frecuencia es . Cuando es pequeño, estos resultados son consistentes con la ecuación dada anteriormente basada en el principio de equivalencia.
La proporción de desplazamiento al rojo también puede expresarse en términos de una velocidad de escape (newtoniana) en , resultando en el correspondiente factor de Lorentz: .
Para un objeto lo suficientemente compacto como para tener un horizonte de eventos, el desplazamiento al rojo no está definido para los fotones emitidos dentro del radio de Schwarzschild, tanto porque las señales no pueden escapar desde dentro del horizonte como porque un objeto como el emisor no puede estar estacionario dentro del horizonte, como se asumió anteriormente. Por lo tanto, esta fórmula solo se aplica cuando es mayor que . Cuando el fotón se emite a una distancia igual al radio de Schwarzschild, el desplazamiento al rojo será infinitamente grande, y no escapará a ninguna distancia finita de la esfera de Schwarzschild. Cuando el fotón se emite a una distancia infinitamente grande, no hay desplazamiento al rojo.
Límite newtoniano En el límite newtoniano, es decir, cuando es suficientemente grande en comparación con el radio de Schwarzschild , el desplazamiento al rojo puede aproximarse como
donde es la aceleración gravitacional en . Para la superficie de la Tierra con respecto al infinito, z es aproximadamente 7×10−10 (el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 0.2 m/s); para la Luna es aproximadamente 3×10−11 (alrededor de 1 cm/s). El valor para la superficie del Sol es aproximadamente 2×10−6, correspondiente a 0.64 km/s. (Para velocidades no relativistas, la velocidad equivalente Doppler radial puede aproximarse multiplicando z por la velocidad de la luz.)
El valor z puede expresarse sucintamente en términos de la velocidad de escape en , ya que el potencial gravitacional es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape, por lo tanto:
donde es la velocidad de escape en .
También puede relacionarse con la velocidad de órbita circular en , que es igual a , por lo tanto .
Por ejemplo, el desplazamiento al azul gravitacional de la luz estelar lejana debido a la gravedad del Sol, que la Tierra orbita a aproximadamente 30 km/s, sería aproximadamente 1 × 10−8 o el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 3 m/s.
Para un objeto en una órbita (circular), el desplazamiento al rojo gravitacional es de una magnitud comparable al efecto Doppler transversal, donde , mientras que ambos son mucho menores que el efecto Doppler radial, para el cual .
Predicción del límite newtoniano usando las propiedades de los fotones miniaturadeimagen|Desplazamiento gravitatorio al rojo de una onda luminosa cuando se desplaza hacia arriba contra un campo gravitatorio (producido por la estrella amarilla de abajo). El efecto es muy exagerado en este diagrama. La fórmula para el desplazamiento al rojo gravitacional en el límite newtoniano también puede derivarse utilizando las propiedades de un fotón:A. Malcherek: Elektromagnetismus und Gravitation, Vereinheitlichung und Erweiterung der klassischen Physik. 2. Edition, Springer-Vieweg, Wiesbaden, 2023, ISBN 978-3-658-42701-6. doi:10.1007/978-3-658-42702-3
En un campo gravitacional una partícula de masa y velocidad cambia su energía según: .
Para un fotón sin masa descrito por su energía y momento , esta ecuación se convierte, tras dividir por la constante de Planck , en:
Insertando el campo gravitacional de un cuerpo esférico de masa dentro de la distancia
y el vector de onda de un fotón que sale del campo gravitacional en dirección radial
la ecuación de energía se convierte en
Usando se obtiene una ecuación diferencial ordinaria que solo depende de la distancia radial :
Para un fotón que comienza en la superficie de un cuerpo esférico con un radio con una frecuencia , la solución analítica es:
A una gran distancia del cuerpo , un observador mide la frecuencia:
Por lo tanto, el desplazamiento al rojo es:
En la aproximación lineal
se obtiene el límite newtoniano para el desplazamiento al rojo gravitacional de la relatividad general.
Historia El debilitamiento gravitacional de la luz de estrellas de alta gravedad fue predicho por John Michell en 1783 y Pierre-Simon Laplace en 1796, usando el concepto de corpúsculos de luz de Isaac Newton (ver: teoría de la emisión) y quienes predijeron que algunas estrellas tendrían una gravedad tan fuerte que la luz no podría escapar. El efecto de la gravedad sobre la luz fue luego explorado por Johann Georg von Soldner (1801), quien calculó la cantidad de deflexión de un rayo de luz por el Sol, llegando a la respuesta newtoniana que es la mitad del valor predicho por la relatividad general. Todo este trabajo temprano asumió que la luz podía ralentizarse y caer, lo cual es inconsistente con la comprensión moderna de las ondas lumínicas.