La analogía de impedancia es un método para representar un sistema mecánico mediante un sistema eléctrico análogo. La ventaja de hacerlo así es que existe un gran cuerpo de teoría y técnicas de análisis sobre sistemas eléctricos complejos, especialmente en el campo de los filtros.Talbot-Smith, pág. 1.86 Al convertir a una representación eléctrica, estas herramientas del dominio eléctrico pueden aplicarse directamente a un sistema mecánico sin modificaciones. Otra ventaja se da en los sistemas electromecánicos: La conversión de la parte mecánica de un sistema de este tipo al dominio eléctrico permite analizar todo el sistema como un todo unificado.
El comportamiento matemático del sistema eléctrico simulado es idéntico al comportamiento matemático del sistema mecánico representado. A cada elemento del dominio eléctrico le corresponde un elemento del dominio mecánico con una ecuación constitutiva análoga. Todas las leyes del análisis de circuitos, como las leyes de circuitos de Kirchhoff, que se aplican en el dominio eléctrico también se aplican a la analogía de impedancia mecánica.
La analogía de la impedancia es una de las dos principales analogías mecánico-eléctricas utilizadas para representar sistemas mecánicos en el dominio eléctrico; la otra es la analogía de la movilidad. Los papeles de la tensión y la corriente se invierten en estos dos métodos, y las representaciones eléctricas producidas son los circuitos duales de cada uno. La analogía de la impedancia mantiene la analogía entre la impedancia eléctrica y la impedancia mecánica, mientras que la analogía de la movilidad no. Por otra parte, la analogía de la movilidad conserva la topología del sistema mecánico cuando se transfiere al dominio eléctrico, mientras que la analogía de la impedancia no.
Aplicaciones La analogía de la impedancia se utiliza mucho para modelar el comportamiento de los filtros mecánicos. Se trata de filtros destinados a ser utilizados en un circuito electrónico, pero que funcionan íntegramente mediante ondas vibratorias mecánicas. A la entrada y a la salida del filtro hay transductores que realizan la conversión entre los dominios eléctrico y mecánico.Carr, págs. 170–171
Otro uso muy común es en el campo de los equipos de audio, como los altavoces. Los altavoces constan de un transductor y piezas mecánicas móviles. Las propias ondas acústicas son ondas de movimiento mecánico: de moléculas de aire o de algún otro medio fluido. Una de las primeras aplicaciones de este tipo fue mejorar notablemente el pésimo rendimiento sonoro de los fonógrafos. En 1929, Edward Norton diseñó los componentes mecánicos de un fonógrafo para que se comportaran como un filtro plano máximo, anticipándose así al filtro electrónico de Butterworth.Darlington, pág. 7
Harrison
Elementos Antes de poder desarrollar una analogía eléctrica para un sistema mecánico, primero hay que describirlo como una red mecánica abstracta. El sistema mecánico se descompone en una serie de elementos ideales, a cada uno de los cuales se puede asociar un análogo eléctrico.Kleiner, págs. 69–70 Los símbolos utilizados para estos elementos mecánicos en los diagramas de red se muestran en las siguientes secciones sobre cada elemento individual.
Los análogos mecánicos de los elementos eléctricos también son elementos de bulto, es decir, se supone que el componente mecánico que posee el elemento es lo suficientemente pequeño como para que pueda despreciarse el tiempo que tardan las ondas mecánicas en propagarse de un extremo al otro del componente. Las analogías también pueden desarrollarse para elementos distribuidos, como las líneas de transmisión, pero las mayores ventajas se obtienen con los circuitos de elementos fijos. Se necesitan analogías mecánicas para los tres elementos eléctricos pasivos: resistencia, inductancia y capacitancia. Estas analogías vienen determinadas por la propiedad mecánica elegida para representar el "esfuerzo", la analogía del voltaje, y la propiedad elegida para representar el "flujo", la analogía de la corriente.Busch-Vishniac, pág. 20 En la analogía de la impedancia, la variable de esfuerzo es la fuerza y la variable de flujo es la velocidad.Talbot-Smith, págs. 1.85–1.86
Resistencia miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un amortiguador (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha).Eargle, p. 4 El símbolo pretende evocar un amortiguador.Kleiner, p. 71 La analogía mecánica de la resistencia eléctrica es la pérdida de energía de un sistema en movimiento a través de procesos como la fricción. Un componente mecánico análogo a una resistencia es un amortiguador y la propiedad análoga a la resistencia es la amortiguación. Una resistencia se rige por la ecuación constitutiva de la ley de Ohm,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es,
donde 𝑅 es la resistencia;
𝑣 es el voltaje; 𝑖 es la corriente;
𝑅𝑚 es la resistencia mecánica, o amortiguamiento;
𝐹 es la fuerza; y 𝑢es la velocidad inducida por la fuerza.
La resistencia eléctrica representa la parte real de la impedancia eléctrica. Del mismo modo, la resistencia mecánica es la parte real de la impedancia mecánica.Kleiner, pág. 71
Inductancia miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de una masa (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha). El ángulo cuadrado debajo de la masa pretende indicar que el movimiento de la masa es relativo a un marco de referencia.Kleiner, p. 74 La analogía mecánica de la inductancia en la analogía de la impedancia es la masa. Un componente mecánico análogo a un inductor es un peso grande y rígido. Un inductor se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el ámbito mecánico es la segunda ley del movimiento de Newton,
𝐿 es la inductancia;
𝑡 es el tiempo; y
𝑀 es la masa.
La impedancia de un inductor es puramente imaginaria y viene dada por
La impedancia mecánica análoga viene dada por,
donde
𝑍es la impedancia eléctrica;
𝑗es la unidad imaginaria;
𝜔es la frecuencia angular; y
𝑍𝑚 es la impedancia mecánica.
Capacitancia miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un elemento de rigidez (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha). El símbolo pretende evocar un resorte.Kleiner, p. 73 La analogía mecánica de la capacitancia en la analogía de la impedancia es la conformidad. En mecánica es más común hablar de rigidez, la inversa de la conformidad. Un componente mecánico análogo a un condensador es un muellePipes y Harvill, pág. 187 Un condensador se rige por la ecuación constitutiva.
La ecuación análoga en el ámbito mecánico es una forma de la ley de Hooke,
donde
𝐷=1/𝐶 es la elastancia;
𝐶es la capacitancia; y
𝑆 es la rigidez.
La impedancia de un condensador es puramente imaginaria y viene dada por,La impedancia mecánica análoga viene dada por,
Alternativamente, se puede escribir,
donde 𝐶𝑚=1/𝑆 es la conformidad mecánica. Esto es más directamente análogo a la expresión eléctrica cuando se utiliza la capacitancia.Kleiner, págs. 72–73
Resonador Un resonador mecánico consta tanto de un elemento de masa como de un elemento de conformidad. Los resonadores mecánicos son análogos a los circuitos eléctricos LC que constan de inductancia y capacitancia. Los componentes mecánicos reales tienen inevitablemente masa y conformidad, por lo que resulta práctico fabricar resonadores como un único componente. De hecho, es más difícil fabricar una masa pura o una conformidad pura como componente único. Se puede fabricar un muelle con una cierta elasticidad y minimizar la masa, o una masa con una elasticidad minimizada, pero ninguno de los dos puede eliminarse por completo. Los resonadores mecánicos son un componente clave de los filtros mecánicos.Taylor y Huang, págs. 377–383
Generadores miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un generador de fuerza constante (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha)Kleiner, p. 76
Beranek & Mellow, p. 70 Existen análogos para los elementos eléctricos activos de la fuente de tensión y la fuente de corriente (generadores). El análogo mecánico en la analogía de impedancia del generador de tensión constante es el generador de fuerza constante. El análogo mecánico del generador de corriente constante es el generador de velocidad constante.Kleiner, págs. 76–77
Un ejemplo de generador de fuerza constante es el muelle de fuerza constante. Es análogo a una fuente de tensión real, como una batería, que se mantiene casi a tensión constante con carga siempre que la resistencia de carga sea mucho mayor que la resistencia interna de la batería. Un ejemplo práctico de generador de velocidad constante es una máquina potente ligeramente cargada, como un motor, que acciona una correa.Kleiner, pág. 77
Transductores miniaturadeimagen|El símbolo mecánico de un generador de velocidad constante (izquierda) y su analogía eléctrica (derecha)Kleiner, p. 77
Beranek & Mellow, p. 70 Los sistemas electromecánicos requieren transductores para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico. Son análogos a las redes de dos puertos y, como éstas, pueden describirse mediante un par de ecuaciones simultáneas y cuatro parámetros arbitrarios. Existen numerosas representaciones posibles, pero la forma más aplicable a la analogía de la impedancia tiene los parámetros arbitrarios en unidades de impedancia. En forma de matriz (con el lado eléctrico tomado como puerto 1) esta representación es,[El elemento 𝑧22 es la impedancia mecánica en circuito abierto, es decir, la impedancia que presenta el lado mecánico del transductor cuando no entra corriente (circuito abierto) en el lado eléctrico. El elemento 𝑧11, por el contrario, es la impedancia eléctrica bloqueada, es decir, la impedancia que presenta el lado eléctrico cuando el lado mecánico está bloqueado y no puede moverse (la velocidad es cero). Los dos elementos restantes, 𝑧21 y 𝑧12,
describen las funciones de transferencia directa e inversa del transductor, respectivamente. Ambas son análogas a las impedancias de transferencia y son relaciones híbridas de una magnitud eléctrica y mecánica.Jackson, págs. 16-17
Paik, pág. 572
Transformadores La analogía mecánica de un transformador es una máquina simple como una polea o una palanca. La fuerza aplicada a la carga puede ser mayor o menor que la fuerza de entrada dependiendo de si la ventaja mecánica de la máquina es mayor o menor que la unidad respectivamente. La ventaja mecánica es análoga a la relación de vueltas del transformador en la analogía de la impedancia. Una ventaja mecánica mayor que la unidad es análoga a un transformador elevador y menor que la unidad es análoga a un transformador reductor.Kleiner, págs. 74–76
Beranek y Mellow, págs. 76–77
Ecuaciones de potencia y energía +Cantidad eléctricaExpresión eléctrica Analogía mecánicaExpresión mecánicaEnergía suministradaEnergía suministradaPotencia suministradaPotencia suministradaPotencia disipada en una resistenciaPotencia disipada en un amortiguadorEargle, pág. 4Energía almacenada en el campo magnético de un inductorEnergía cinética de una masa en movimientoEnergía almacenada en el campo eléctrico de un condensadorEnergía cinética de una masa en movimiento
Ejemplos
Circuito resonante simple centro|miniaturadeimagen|Resonador mecánico simple (izquierda) y su circuito equivalente de analogía de impedancia (derecha) La figura muestra una disposición mecánica de una plataforma de masa 𝑀 que está suspendida por encima del sustrato mediante un muelle de rigidez 𝑆 y un amortiguador de resistencia 𝑅.
El circuito equivalente de analogía de impedancias se muestra a la derecha de esta disposición y consiste en un circuito resonante en serie. Este sistema tiene una frecuencia de resonancia y puede tener una frecuencia natural de oscilación si no está demasiado amortiguado.Eargle, págs. 3–4
Modelo del oído humano izquierda|miniaturadeimagen|Un circuito equivalente del oído humano utilizando la analogía de impedancia miniaturadeimagen|Anatomía del oído