El teorema de F. Riesz (llamado así por el matemático húngaro Frigyes Riesz (1880-1956)) es una proposición importante en análisis funcional, que establece que un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto. El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarlo explícitamente.
Enunciado
En primer lugar, debe recordarse que un espacio vectorial topológico (EVT) es de Hausdorff si y solo si el conjunto unitario que consta exclusivamente del origen es un subconjunto cerrado de . Una aplicación entre dos EVT se denomina isomorfismo EVT o isomorfismo en la categoría de EVT si es un homeomorfismo lineal.
Consecuencias
En todo momento, son EVTs (no necesariamente de Hausdorff), siendo un espacio vectorial de dimensión finita. Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un EVT de Hausdorff es un subespacio cerrado. Todos los EVTs de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dicho espacio son equivalentes. Cerrado + de dimensión finita está cerrado: Si es un subespacio vectorial cerrado de un EVT y si es un subespacio vectorial de dimensión finita de (, y no son necesariamente de Hausdorff), entonces es un subespacio vectorial cerrado de . Cada isomorfismo del espacio vectorial (es decir, una función biyectiva lineal) entre dos EVTs de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo entre EVTs. Singularidad de la topología: Si es un espacio vectorial de dimensión finita y si y son dos topologías sobre EVT de Hausdorff en , entonces . Dominio de dimensión finita: Una aplicación lineal entre EVT de Hausdorff es necesariamente continua. En particular, cada funcional lineal de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es continuo. Rango de dimensión finita: Cualquier aplicación lineal sobreyectiva continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es una aplicación abierta y, por lo tanto, un homomorfismo topológico. En particular, el rango de es EVT-isomorfo a Un EVT (no necesariamente de Hausdorff) es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita. La envolvente convexa de un espacio compacto de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es compacta. Esto implica, en particular, que el recubrimiento convexo de un conjunto compacto es igual al recubrimiento convexo de ese conjunto. Un EVT de Hausdorff localmente acotado con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita.
Véase también Lema de Riesz
Referencias
Bibliografía
Categoría:Teoremas en análisis funcional Categoría:Lemas (matemáticas) Categoría:Espacios vectoriales topológicos